طولی که هیچ کسری درست نشانش نمی‌دهد
دستمال سفره‌ای مربعی را از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو تا کنید. خطِ تا همان قطرِ مربع است. اگر هر ضلع دستمال ۱ متر باشد، خطِ تا چقدر است؟ از ۱ متر بلندتر و از ۲ متر کوتاه‌تر است. اما دقیقاً چقدر؟ جواب این پرسش یکی از بزرگ‌ترین شگفتی‌های تاریخ ریاضی از کار درآمد.
فیثاغورس مربع را می‌دهد
قطر، مربع را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم می‌کند. در هر کدام، دو ضلعِ کوتاه‌تر ۱ متر است و قطر وترِ مثلث است. بنا بر قضیه‌ی فیثاغورس:
- ۱ × ۱ + ۱ × ۱ = ۲
پس مساحت مربعی که روی قطر ساخته شود دقیقاً ۲ متر مربع است. این را بدون حساب هم می‌شود دید: مربعِ روی قطر از چهار نیمه‌ی مربعِ کوچک ساخته شده است، یعنی درست دو مربعِ کوچکِ کامل.
قطر ضلعِ مربعی با مساحت ۲ است. پس طولش عددی است که اگر در خودش ضرب شود ۲ می‌شود. این عدد √۲ است، یعنی جذرِ ۲.
به دنبال √۲
بیایید √۲ را مثل هر جذر دیگری با امتحان کردن پیدا کنیم:
- ۱٫۴ × ۱٫۴ = ۱٫۹۶. کمی کم است.
- ۱٫۵ × ۱٫۵ = ۲٫۲۵. زیاد است. پس √۲ میان ۱٫۴ و ۱٫۵ است.
- ۱٫۴۱ × ۱٫۴۱ = ۱٫۹۸۸۱. کم است.
- ۱٫۴۲ × ۱٫۴۲ = ۲٫۰۱۶۴. زیاد است. پس √۲ میان ۱٫۴۱ و ۱٫۴۲ است.
- ۱٫۴۱۴ × ۱٫۴۱۴ = ۱٫۹۹۹۳۹۶. هنوز کمی کم است.
هر رقمِ تازه ما را نزدیک‌تر می‌کند، اما هیچ‌وقت درست روی ۲ نمی‌نشینیم. رقم‌های اعشاریِ √۲ این‌طور شروع می‌شوند: ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶ ... و تا ابد ادامه پیدا می‌کنند، بی‌آنکه به الگویی تکراری برسند.
هیچ کسری دقیقاً درست نیست
شاید یک کسر بهتر از عدد اعشاری از عهده برآید؟ ۷/۵ ضرب در ۷/۵ می‌شود ۴۹/۲۵ که کمی از ۲ کمتر است. ۱۷/۱۲ ضرب در ۱۷/۱۲ می‌شود ۲۸۹/۱۴۴ که کمی از ۲ بیشتر است. می‌شود کسرهایی پیدا کرد که هر بار به √۲ نزدیک‌تر می‌شوند، اما هیچ‌وقت کسری که دقیقاً درست باشد. ریاضی‌دانان یونانی بیش از ۲٬۰۰۰ سال پیش ثابت کردند که هیچ کسری، هر قدر هم صورت و مخرجش بزرگ باشد، اگر در خودش ضرب شود دقیقاً ۲ نمی‌شود.
با این حال √۲ طولی واقعی است. خطِ تای دستمال همین طول را دارد، و قطری که روی محور چرخید جای دقیقِ آن را روی محور اعداد نشان می‌دهد. √۲ یک عدد است؛ فقط کسری نمی‌تواند نشانش بدهد.
به چنین عددهایی عدد گنگ (irrational number) می‌گویند: عددهایی که کسر نیستند. رقم‌های اعشاری‌شان نه تمام می‌شوند و نه تکرار. ۱/۴ = ۰٫۲۵ را ببینید که تمام می‌شود، و ۱/۳ = ۰٫۳۳۳ ... را که یک رقم را تا ابد تکرار می‌کند: هر کسری یکی از این دو کار را می‌کند. √۳ و √۵ هم گنگ‌اند. عددی هم که نشان می‌دهد دورِ یک دایره چقدر است گنگ است؛ با آن در درس «عدد پی: یک دور دایره» آشنا می‌شویم.
در خانه امتحان کنید
- مربعی کاغذی با ضلع ۱۰ سانتی‌متر ببُرید. قطرش را اندازه بگیرید. آیا نزدیکِ ۱۴٫۱ سانتی‌متر است؟
- √۲ به ۱٫۴۱ نزدیک‌تر است یا به ۱٫۴۲؟ از حساب‌های بالا کمک بگیرید.
- کدام‌یک گنگ است: √۹، √۵ یا ۰٫۵؟
جواب‌ها: ۱. بله: ۱۰ × √۲ حدود ۱۴٫۱۴ سانتی‌متر است. ۲. به ۱٫۴۱، چون ۱٫۹۸۸۱ از ۲٫۰۱۶۴ به ۲ نزدیک‌تر است. ۳. √۵. √۹ = ۳ و ۰٫۵ = ۱/۲.
واژه‌های این درس
- عدد گنگ (irrational number) - عددی که نمی‌شود آن را به شکل کسر نوشت، مثل √۲؛ رقم‌های اعشاری‌اش نه تمام می‌شوند و نه تکرار
ایده‌ی اصلی
قطرِ مربعی با ضلع ۱ برابر √۲ است. هیچ کسری دقیقاً با آن برابر نیست و رقم‌های اعشاری‌اش بی‌تکرار تا ابد ادامه دارند. چنین عددهایی گنگ‌اند و هر کدام جای خودش را روی محور اعداد دارد.