یک حصار، زمین‌های گوناگون
کشاورزی در پنجاب درست ۱۲ متر حصار دارد تا برای بزهایش آغلی کوچک و مستطیلی بسازد. می‌تواند آغل را دراز و باریک بسازد، یا کوتاه و پهن. آیا فرقی می‌کند؟ طول حصار همیشه یکی است. زمینِ درون آن هم همیشه یکی است؟
دوازده متر حصار
حصار همان محیط آغل است. نیمی از حصار یک طول و یک عرض را می‌پوشاند، پس طول و عرض روی هم باید ۶ متر شوند. اگر فقط متر کامل به کار ببریم، سه راه هست:
- طول ۵ متر و عرض ۱ متر: مساحت ۵ × ۱ = ۵ m²
- طول ۴ متر و عرض ۲ متر: مساحت ۴ × ۲ = ۸ m²
- طول ۳ متر و عرض ۳ متر (یک مربع): مساحت ۳ × ۳ = ۹ m²
هر سه آغل ۱۲ متر حصار دارند. اما آغل دراز و باریک فقط ۵ متر مربع زمین به بزها می‌دهد و آغل مربعی ۹ متر مربع، تقریباً دو برابر. پس محیط برابر می‌تواند مساحت‌های گوناگون را در بر بگیرد.
از میان همه‌ی مستطیل‌هایی که محیطشان برابر است، آنکه به مربع نزدیک‌تر است بیشترین مساحت را دارد. هرچه مستطیل را درازتر و باریک‌تر کنید، مساحتش کمتر و کمتر می‌شود، اما حصار همان می‌ماند.
برعکسش
برعکسش هم درست است. ۱۲ کاشی مربعی بردارید که هر کدام ۱ متر در ۱ متر است؛ پس مساحت همیشه ۱۲ متر مربع است. آن‌ها را به شکل مستطیل‌های گوناگون بچینید:
- ۱ ردیف ۱۲تایی: محیط ۱۲ + ۱ + ۱۲ + ۱ = ۲۶ متر
- ۲ ردیف ۶تایی: محیط ۶ + ۲ + ۶ + ۲ = ۱۶ متر
- ۳ ردیف ۴تایی: محیط ۴ + ۳ + ۴ + ۳ = ۱۴ متر
مساحت برابر می‌تواند محیط‌های گوناگون داشته باشد. ردیف بلند تقریباً دو برابرِ چیدمان ۳ در ۴ لبه دارد.
دو اندازه‌ی جدا
محیط و مساحت دو چیز متفاوت را اندازه می‌گیرند، پس یکی می‌تواند تغییر کند و دیگری ثابت بماند:
- محیط: راهِ دور لبه چقدر است؛ یک طول، با واحد متر؛
- مساحت: درون شکل چقدر سطح هست؛ با واحد متر مربع.
دانستن یکی، دیگری را به شما نمی‌گوید. برای همین بنّا برای خریدن حصار، قرنیز یا قاب عکس محیط را می‌پرسد، و برای خریدن فرش، رنگ یا بذر چمن مساحت را.
در خانه امتحان کنید
- حلقه‌ای از نخ به طول حدود ۲۴ سانتی‌متر درست کنید. آن را روی کاغذ شطرنجی به شکل مستطیل‌های گوناگون نگه دارید و مربع‌های درون هر کدام را بشمارید. کدام بیشتر جا دارد؟
- با ۱۶ کاشی (یا سکه، یا برگه‌ی یادداشت) هر مستطیلی که می‌توانید بسازید. محیط کدام از همه کمتر است؟
- آغلی ۲۰ متر حصار دارد. کدام بیشتر جا دارد: ۹ متر در ۱ متر، یا ۵ متر در ۵ متر؟
جواب‌ها: ۲. ۴ در ۴، با محیط ۱۶. ۳. ۹ × ۱ = ۹ m² و ۵ × ۵ = ۲۵ m²، پس مربع بیشتر جا دارد.
واژه‌های این درس
- محیط و مساحت - دو اندازه‌ی متفاوت از یک شکل: طولِ راهِ دور آن، و اندازه‌ی سطحِ درون آن
ایده‌ی اصلی
یک حصار می‌تواند مساحت‌های گوناگونی را محصور کند، و یک مساحت می‌تواند محیط‌های گوناگونی داشته باشد. از میان همه‌ی مستطیل‌هایی که محیطشان برابر است، مربع بیشترین مساحت را دارد.