مساحت مثلث
بادبان یک قایق کوچک مثلثی از پارچه‌ی محکم است. روسری‌ای که از گوشه به گوشه تا شده، و دیوارِ زیرِ شیروانیِ یک خانه هم مثلث‌اند. اگر قرار بود پارچه‌ی یک بادبان را بخرید، چقدر پارچه لازم داشتید؟ بادبان مستطیل نیست، پس طول ضرب در عرض جواب نمی‌دهد. مساحت مثلث را چطور پیدا کنیم؟
نصفِ یک مستطیل
از ساده‌ترین مثلث شروع کنیم: مثلثی که زاویه‌ی قائمه دارد. یک مستطیل بکشید و آن را از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو، روی قطرش، ببُرید. دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی کاملاً هم‌اندازه به دست می‌آید.
مساحت مستطیل ۶ × ۴ = ۲۴ cm² است. هر مثلث نصفِ آن است: ۲۴ ÷ ۲ = ۱۲ cm².
دو نسخه، یک متوازی‌الاضلاع
اما مثلثی که زاویه‌ی قائمه ندارد چه؟ دو نسخه از آن ببُرید. نسخه‌ی دوم را وارونه کنید و کنار اولی بگذارید، طوری که یکی از ضلع‌هایشان به هم بچسبد. دو مثلث با هم یک متوازی‌الاضلاع می‌سازند.
در درس «مساحت متوازی‌الاضلاع» دیدیم که مساحت متوازی‌الاضلاع قاعده ضرب در ارتفاع است. این متوازی‌الاضلاع همان قاعده و همان ارتفاعِ مثلث را دارد، و درست از دو مثلث ساخته شده است. پس هر مثلث نصفِ آن است:
- مساحت مثلث = نصفِ قاعده × ارتفاع
این برای همه‌ی مثلث‌ها درست است، چون هر مثلثی با نسخه‌ی وارونه‌اش همیشه یک متوازی‌الاضلاع می‌سازد.
بادبان
قاعده‌ی بادبان در پایین ۸ متر است و نوکش ۵ متر صاف بالای قاعده قرار دارد. قاعده ضرب در ارتفاع می‌شود ۸ × ۵ = ۴۰، و نصفِ ۴۰ می‌شود ۲۰. پس برای بادبان ۲۰ متر مربع پارچه لازم است.
مثل متوازی‌الاضلاع، ارتفاع را صاف رو به بالا و با زاویه‌ی قائمه نسبت به قاعده اندازه می‌گیریم، نه روی یک ضلعِ کج.
مراقب باشید
در مثلثی که یکی از زاویه‌های پایینش باز است، نوکِ مثلث از انتهای قاعده بیرون می‌زند. باز هم ارتفاع فاصله‌ی صاف رو به پایین از نوک تا امتدادِ خطِ قاعده است، حتی اگر بیرون از مثلث بیفتد.
در خانه امتحان کنید
- یک برگه‌ی کاغذ را از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو تا کنید و از روی تا ببُرید. دو مثلث را روی هم بگذارید. آیا یکسان‌اند؟
- مساحت مثلثی با قاعده‌ی ۱۰ سانتی‌متر و ارتفاع ۶ سانتی‌متر را پیدا کنید.
- یک مثلث و یک مستطیل قاعده و ارتفاعِ یکسان دارند. مساحت کدام بیشتر است، و چقدر؟
جواب‌ها: ۱. بله: هر کدام دقیقاً نصفِ برگه است. ۲. ۱۰ × ۶ = ۶۰، و نصفِ ۶۰ می‌شود ۳۰ سانتی‌متر مربع. ۳. مستطیل: مساحتش دو برابرِ مساحت مثلث است.
واژه‌های این درس
- مساحت مثلث - نصفِ قاعده ضرب در ارتفاع، چون دو نسخه از یک مثلث یک متوازی‌الاضلاع می‌سازند
ایده‌ی اصلی
هر مثلث نصفِ متوازی‌الاضلاعی با همان قاعده و ارتفاع است. پس مساحت مثلث نصفِ قاعده ضرب در ارتفاع است.