چندضلعی‌ها

در خیابان قدم بزنید و به تابلوها نگاه کنید. تابلوی خطر مثلث است. تابلوی ایست هشت ضلع دارد. پنجره مستطیل است، و هر خانه‌ی کندوی زنبور عسل شش ضلع دارد. همه‌ی این شکل‌ها در یک چیز با هم شریک‌اند. آن چیز چیست، و به این شکل‌ها چه می‌گویند؟

چندضلعی چیست؟

هر کدام از این شکل‌ها با چند پاره‌خط راست کشیده شده است. پاره‌خط‌ها سر به سر به هم وصل می‌شوند تا به نقطه‌ی شروع برگردند. به شکل صافی که این‌طور ساخته شود چندضلعی (polygon) می‌گویند. سه شرط لازم است:

• هر لبه‌ی شکل یک پاره‌خط راست است؛
• لبه‌ها به هم وصل‌اند و شکل را می‌بندند: هیچ شکافی نمی‌ماند؛
• لبه‌ها فقط در سرهایشان به هم می‌رسند.

به لبه‌های راست چندضلعی ضلع (side) می‌گویند. به نقطه‌ای که دو ضلع در آن به هم می‌رسند رأس (vertex) می‌گویند. در زبان روزمره «گوشه» هم می‌گوییم. در هر رأس، میان دو ضلع یک زاویه هست.

دایره چندضلعی نیست، چون هیچ ضلع راستی ندارد. نیم‌دایره هم چندضلعی نیست، چون یکی از لبه‌هایش خمیده است.

نام‌گذاری با تعداد ضلع‌ها

چندضلعی‌ها را با شمردن ضلع‌هایشان نام‌گذاری می‌کنیم. هر چندضلعی به اندازه‌ی ضلع‌هایش رأس دارد: هر ضلع به یک رأس ختم می‌شود، و هر رأس دو ضلع را به هم وصل می‌کند.

• ۳ ضلع: مثلث
• ۴ ضلع: چهارضلعی
• ۵ ضلع: پنج‌ضلعی
• ۶ ضلع: شش‌ضلعی
• ۸ ضلع: هشت‌ضلعی

در فارسی نام‌ها خودشان تعداد را می‌گویند: پنج‌ضلعی یعنی «شکلی با پنج ضلع». در انگلیسی این نام‌ها از واژه‌های یونانی ساخته شده‌اند، مثل pentagon (پنج‌ضلعی) و hexagon (شش‌ضلعی). دو درس بعد مثلث‌ها و چهارضلعی‌ها را از نزدیک نگاه می‌کنند.

چندضلعی‌های منتظم

بعضی چندضلعی‌ها خیلی یکنواخت‌اند: همه‌ی ضلع‌هایشان هم‌اندازه‌اند و همه‌ی زاویه‌هایشان هم. به آن‌ها چندضلعی منتظم (regular polygon) می‌گویند. تابلوی ایست یک هشت‌ضلعی منتظم است. خانه‌های کندوی زنبور شش‌ضلعی‌های منتظم‌اند و بی‌هیچ فاصله‌ای کنار هم جا می‌شوند.

هر دو شرط لازم است. مستطیل دراز چهار زاویه‌ی برابر دارد (چهار زاویه‌ی قائمه)، اما ضلع‌هایش هم‌اندازه نیستند، پس منتظم نیست. شکلی با چهار ضلع برابر که کج شده باشد ضلع‌های برابر دارد، اما زاویه‌هایش برابر نیستند، پس آن هم منتظم نیست. مربع هر دو را دارد، پس مربع یک چهارضلعی منتظم است.

در خانه امتحان کنید

1. سه چندضلعی در خانه پیدا کنید. ضلع‌ها و رأس‌های هر کدام را بشمارید.
2. یک پنج‌ضلعی بکشید که منتظم نباشد.
3. سکه گرد است. آیا سکه چندضلعی است؟

جواب‌ها: ۱. هر کدام به تعداد ضلع‌هایش رأس دارد. ۲. هر شکل بسته‌ی پنج‌ضلعی که ضلع‌هایش طول‌های گوناگون داشته باشند. ۳. نه: لبه‌ی سکه خمیده است، و ضلع‌های چندضلعی راست‌اند. (بعضی سکه‌ها، مثل سکه‌ی ۵۰ پنی بریتانیا، هفت ضلع کمی خمیده دارند؛ پس آن‌ها هم چندضلعی نیستند.)

واژه‌های این درس

• چندضلعی (polygon) - شکلی صاف که ضلع‌های راست آن را می‌بندند
• ضلع (side) - هر کدام از لبه‌های راست یک چندضلعی
• رأس (vertex) - گوشه؛ جایی که دو ضلع به هم می‌رسند
• چندضلعی منتظم (regular polygon) - چندضلعی‌ای که همه‌ی ضلع‌هایش برابرند و همه‌ی زاویه‌هایش هم
• پنج‌ضلعی، شش‌ضلعی، هشت‌ضلعی - چندضلعی‌هایی با ۵، ۶ و ۸ ضلع

ایده‌ی اصلی

چندضلعی شکلی صاف است که ضلع‌های راست آن را می‌بندند، و نامش را از تعداد ضلع‌هایش می‌گیرد. در چندضلعی منتظم همه‌ی ضلع‌ها برابرند و همه‌ی زاویه‌ها هم.