مربع‌های روی ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه
بنّاها برای اینکه بفهمند یک گوشه درست قائمه است، ترفندی قدیمی دارند. از گوشه، ۳ متر روی یک دیوار جلو می‌روند و علامت می‌گذارند. بعد ۴ متر روی دیوار دیگر جلو می‌روند و علامت دوم را می‌گذارند. اگر فاصله‌ی دو علامت درست ۵ متر باشد، گوشه قائمه است. عددهای ۳، ۴ و ۵ چه ربطی به زاویه‌ی قائمه دارند؟
یک مربع روی هر ضلع
مثلثی قائم‌الزاویه بکشید که دو ضلعِ کوتاه‌ترش ۳ و ۴ سانتی‌متر باشند. بلندترین ضلعش، که روبه‌روی زاویه‌ی قائمه است، ۵ سانتی‌متر می‌شود. این ضلع نام خودش را دارد: وتر (hypotenuse).
حالا روی هر ضلع مربعی بسازید که آن ضلع یکی از لبه‌هایش باشد، و مربع‌های یک‌سانتی‌متریِ درونِ هر کدام را بشمارید:
- مربعِ روی ضلعِ ۳ سانتی‌متری: ۳ × ۳ = ۹ cm²
- مربعِ روی ضلعِ ۴ سانتی‌متری: ۴ × ۴ = ۱۶ cm²
- مربعِ روی ضلعِ ۵ سانتی‌متری: ۵ × ۵ = ۲۵ cm²
و ۹ + ۱۶ = ۲۵. دو مربعِ کوچک‌تر روی هم درست هم‌مساحتِ بزرگ‌ترین مربع‌اند.
این از شانس نیست. برای همه‌ی مثلث‌های قائم‌الزاویه درست است: مربعِ روی وتر با دو مربعِ روی دو ضلع دیگر، روی هم، هم‌مساحت است. به این قضیه‌ی فیثاغورس (Pythagoras' theorem) می‌گویند، به نام اندیشمندی یونانی که حدود ۲٬۵۰۰ سال پیش زندگی می‌کرد. لوح‌های گلیِ بابلی، با عمرِ حدود ۳٬۸۰۰ سال، نشان می‌دهند که مردم حتی پیش از او چنین مثلث‌هایی را می‌شناختند.
ترفندِ بنّاها همین حقیقت است، از آن طرف: مثلثی که ضلع‌هایش با این قاعده جور درمی‌آیند، مثل ۳ و ۴ و ۵، همیشه یک زاویه‌ی قائمه دارد. اگر روی طنابی ۱۲ فاصله‌ی برابر علامت بزنید و آن را به شکل مثلثی با ۳ و ۴ و ۵ فاصله محکم بکشید، هر بار یک زاویه‌ی قائمه درست می‌شود.
چرا همیشه درست است
مربعی بزرگ با ضلعِ ۳ + ۴ = ۷ سانتی‌متر در نظر بگیرید. چهار نسخه از مثلثِ ما را به دو شکلِ مختلف درونِ آن بچینید.
در چیدمانِ اول، مثلث‌ها در چهار گوشه نشسته‌اند و جای خالیِ وسط همان مربعِ روی وتر است. در چیدمانِ دوم، همان چهار مثلث به شکل دو مستطیل کنار هم گذاشته شده‌اند و جای خالی، مربعِ روی ضلعِ ۳ سانتی‌متری به‌اضافه‌ی مربعِ روی ضلعِ ۴ سانتی‌متری است. مربع‌های بزرگ یکسان‌اند و چهار مثلث هم یکسان‌اند، پس جای خالیِ باقی‌مانده هم باید یکسان باشد. همین تصویر برای هر مثلث قائم‌الزاویه‌ای کار می‌کند.
پیدا کردن یک طول
نردبانی به دیوار تکیه داده شده است. پایه‌اش ۶ متر از دیوار فاصله دارد و سرش ۸ متر بالاتر به دیوار می‌رسد. نردبان چقدر بلند است؟ نردبان همان وتر است:
- ۶ × ۶ = ۳۶ و ۸ × ۸ = ۶۴
- ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰
- نردبان ضلعِ مربعی با مساحت ۱۰۰ است، و √۱۰۰ = ۱۰، پس ۱۰ متر بلند است
در گامِ آخر از جذر استفاده کردیم: عددی که اگر در خودش ضرب شود ۱۰۰ می‌شود.
در خانه امتحان کنید
- از یک گوشه‌ی میز، ۳ گامِ برابر روی یک لبه و ۴ گام روی لبه‌ی کناری علامت بزنید. فاصله‌ی دو علامت را اندازه بگیرید. آیا ۵ گام می‌شود؟
- ضلع‌های کوتاه‌ترِ مثلثی قائم‌الزاویه ۵ و ۱۲ سانتی‌متر است. وترش چقدر است؟
- آیا مثلثی با ضلع‌های ۳، ۴ و ۶ می‌تواند زاویه‌ی قائمه داشته باشد؟
جواب‌ها: ۱. بله، اگر گوشه‌ی میز قائمه باشد. ۲. ۲۵ + ۱۴۴ = ۱۶۹ و √۱۶۹ = ۱۳، پس ۱۳ سانتی‌متر. ۳. نه: ۹ + ۱۶ = ۲۵، نه ۳۶.
واژه‌های این درس
- وتر (hypotenuse) - بلندترین ضلعِ مثلث قائم‌الزاویه، روبه‌روی زاویه‌ی قائمه
- قضیه‌ی فیثاغورس (Pythagoras' theorem) - در مثلث قائم‌الزاویه، مربعِ روی وتر با مربع‌های روی دو ضلع دیگر، روی هم، برابر است
ایده‌ی اصلی
در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع‌های روی دو ضلعِ کوتاه‌تر روی هم مربعِ روی بلندترین ضلع را می‌سازند. پس با دانستن دو ضلع می‌توانید ضلع سوم را پیدا کنید.