یک جعبه چقدر جا دارد؟
مغازه‌ای حبه‌قند می‌فروشد؛ هر حبه ۱ سانتی‌متر طول، ۱ سانتی‌متر عرض و ۱ سانتی‌متر ارتفاع دارد. حبه‌ها فشرده و بی‌هیچ فاصله‌ای در یک جعبه‌ی مقوایی چیده شده‌اند. بی‌آنکه جعبه را باز کنیم و حبه‌ها را یکی‌یکی بشماریم، چطور بفهمیم چند حبه در آن جا می‌گیرد؟
اندازه گرفتن فضا با مکعب
حجم (volume) یعنی یک چیز چقدر جا می‌گیرد، یا یک ظرف چقدر جا دارد. حجم شیر و آب را با لیتر و میلی‌لیتر اندازه می‌گیریم (صفحه‌ی حجم را ببینید). برای جعبه راه دیگری هم هست: آن را با مکعب‌های کوچک پر کنیم و مکعب‌ها را بشماریم.
مکعبی که ۱ سانتی‌متر طول، ۱ سانتی‌متر عرض و ۱ سانتی‌متر ارتفاع دارد، یک سانتی‌متر مکعب (cubic centimetre) است و آن را ۱ cm³ می‌نویسیم. اندازه‌اش حدود یک حبه‌قند است. همان‌طور که مساحت مربع‌ها را می‌شمارد (در درس «مساحت: شمردن مربع‌ها»)، حجم مکعب‌ها را می‌شمارد.
یک لایه را بشمارید، بعد لایه‌ها را
جعبه‌ای را در نظر بگیرید که ۴ سانتی‌متر طول، ۳ سانتی‌متر عرض و ۲ سانتی‌متر ارتفاع دارد. از لایه‌ی کف شروع کنید. این لایه ۳ ردیف ۴تایی مکعب دارد: ۴ × ۳ = ۱۲ مکعب. این همان مساحت کف جعبه است، ۱۲ cm²، که در درس «مساحت مستطیل» دیدیم.
ارتفاع جعبه ۲ سانتی‌متر است، پس ۲ تا از این لایه‌ها روی هم جا می‌شوند:
- ۱۲ مکعب در هر لایه، ضرب در ۲ لایه: ۱۲ × ۲ = ۲۴ مکعب.
پس ۲۴ حبه‌قند در جعبه جا می‌گیرد، و حجم جعبه ۲۴ cm³ است.
همین کار برای هر جعبه‌ای جواب می‌دهد. طول را در عرض ضرب کنید تا مکعب‌های یک لایه شمرده شود، بعد حاصل را در ارتفاع ضرب کنید تا لایه‌ها شمرده شوند:
- حجم جعبه = طول × عرض × ارتفاع
جعبه‌ای با ۵ سانتی‌متر طول، ۴ سانتی‌متر عرض و ۳ سانتی‌متر ارتفاع، ۵ × ۴ × ۳ = ۶۰ cm³ جا دارد. همه‌ی طول‌ها باید با یک واحد باشند: سانتی‌متر، سانتی‌متر مکعب می‌دهد و متر، متر مکعب (m³).
مکعبی از ۱٬۰۰۰ مکعب
در مکعب هر سه طول با هم برابرند. مکعبی که هر ضلعش ۳ سانتی‌متر است، ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷ مکعب کوچک جا دارد. برای همین به «۳ به توان ۳» «مکعب ۳» هم می‌گویند (صفحه‌ی توان را ببینید): ۳ × ۳ × ۳ مکعب کوچک، یک مکعب می‌سازند.
حالا مکعبی را در نظر بگیرید که هر ضلعش ۱۰ سانتی‌متر است. این مکعب ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱٬۰۰۰ cm³ جا دارد. اگر آن را پر از آب کنید، درست ۱ لیتر آب دارید. پس:
- ۱ لیتر برابر ۱٬۰۰۰ cm³ است، و ۱ میلی‌لیتر برابر ۱ cm³.
یک حبه‌قند به اندازه‌ی یک میلی‌لیتر آب جا می‌گیرد: حدود ۲۰ قطره.
در خانه امتحان کنید
- یک جعبه‌ی کوچک را با خط‌کش، با سانتی‌مترهای کامل، اندازه بگیرید. حجمش را حساب کنید.
- جعبه‌ای ۶ سانتی‌متر طول، ۵ سانتی‌متر عرض و ۲ سانتی‌متر ارتفاع دارد. چند مکعب یک‌سانتی‌متری در آن جا می‌گیرد؟
- یک آکواریوم ۵۰ سانتی‌متر طول، ۲۰ سانتی‌متر عرض و ۳۰ سانتی‌متر ارتفاع دارد. وقتی پر باشد، چند لیتر آب در آن هست؟
جواب‌ها: ۲. ۶ × ۵ = ۳۰ مکعب در هر لایه، ضرب در ۲ لایه می‌شود ۶۰. ۳. ۵۰ × ۲۰ × ۳۰ = ۳۰٬۰۰۰ cm³، یعنی ۳۰ لیتر.
واژه‌های این درس
- حجم - اینکه یک چیز چقدر جا می‌گیرد یا یک ظرف چقدر جا دارد
- سانتی‌متر مکعب (cm³) - فضای درون مکعبی که طول، عرض و ارتفاعش هر کدام ۱ سانتی‌متر است؛ همان ۱ میلی‌لیتر
- حجم جعبه - طول × عرض × ارتفاع
ایده‌ی اصلی
حجم مکعب‌ها را می‌شمارد. هر لایه‌ی جعبه «طول × عرض» مکعب دارد، و جعبه به اندازه‌ی ارتفاعش لایه دارد؛ پس حجمش طول × عرض × ارتفاع است. مکعبی که هر ضلعش ۱۰ سانتی‌متر باشد ۱٬۰۰۰ cm³ جا دارد، درست یک لیتر.