زاویه‌های مثلث

روی یک برگ کاغذ یک مثلث بکشید، هر مثلثی که دوست دارید: بلند و باریک، کوتاه و پهن، با زاویه‌ی قائمه یا بی آن. سه زاویه‌اش را با نقاله اندازه بگیرید و با هم جمع کنید. دوستتان مثلثی کاملاً متفاوت می‌کشد و همین کار را می‌کند. هر دو به یک جواب می‌رسید. آن جواب چیست، و چرا؟

گوشه‌ها را بکَنید

راهی هست که بی‌اندازه‌گیری هم این را ببینید.

یک مثلث کاغذی ببُرید و سه گوشه‌اش را با سه رنگ مختلف رنگ کنید.
سه گوشه را بکَنید.
آن‌ها را کنار هم بگذارید طوری که نوک‌هایشان در یک نقطه به هم برسند، بی‌فاصله و بی‌آنکه روی هم بیفتند.

سه گوشه همیشه کنار هم یک خط راست می‌سازند. در درس «اندازه‌گیری زاویه با درجه» دیدیم که خط راست نیم دور است، یعنی زاویه‌ی نیم‌صفحه که ۱۸۰ درجه است. پس مجموع سه زاویه‌ی مثلث ۱۸۰ درجه است.

یک مثلث کاغذی که سه گوشه‌اش قرمز، سبز و آبی رنگ شده است. کنارش سه گوشه‌ی کنده‌شده، نوک به نوک کنار هم، که با هم یک خط راست ساخته‌اند

با مثلثی دیگر امتحان کنید. زاویه‌ها عوض می‌شوند، اما باز هم یک خط راست می‌سازند. این برای هر مثلثی درست است: مجموع زاویه‌هایش ۱۸۰ درجه است.

با عددها امتحان کنیم

مثلث متساوی‌الاضلاع سه زاویه‌ی برابر دارد. ⁦۱۸۰° ÷ ۳ = ۶۰°⁩، پس هر زاویه ۶۰ درجه است.
یک کاغذ مربعی را از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو تا کنید. مثلثی که به دست می‌آید یک زاویه‌ی قائمه و دو زاویه‌ی ۴۵ درجه دارد: ⁦۹۰° + ۴۵° + ۴۵° = ۱۸۰°⁩.
گونیا، خط‌کش مثلثی جامدادی مدرسه، معمولاً زاویه‌های ۹۰، ۶۰ و ۳۰ درجه دارد: ⁦۹۰° + ۶۰° + ۳۰° = ۱۸۰°⁩.

سه مثلث که زاویه‌هایشان درونشان نوشته شده است: مثلث متساوی‌الاضلاع با ۶۰، ۶۰ و ۶۰ درجه؛ مثلث قائم‌الزاویه با ۹۰، ۴۵ و ۴۵ درجه؛ و مثلث قائم‌الزاویه با ۹۰، ۶۰ و ۳۰ درجه

با این قاعده می‌شود زاویه‌ی ناپیدا را هم بی‌نقاله پیدا کرد. اگر دو زاویه‌ی مثلثی ۵۰ و ۷۰ درجه باشند، با هم ۱۲۰ درجه می‌شوند، و ⁦۱۸۰° - ۱۲۰° = ۶۰°⁩. زاویه‌ی سوم ۶۰ درجه است.

چرا دو زاویه‌ی قائمه نمی‌شود؟

آیا مثلث می‌تواند دو زاویه‌ی قائمه داشته باشد؟ سعی کنید چنین مثلثی بکشید. پاره‌خطی در پایین صفحه بکشید و از هر سرش خطی راست به بالا، با زاویه‌ی قائمه. این دو خط موازی هستند: کنار هم بالا می‌روند و هیچ‌وقت به هم نمی‌رسند. گوشه‌ی سومی در کار نیست، پس مثلثی هم در کار نیست.

پاره‌خطی در پایین و از هر سرش خطی که راست به بالا می‌رود، هر دو با زاویه‌ی قائمه. دو خط موازی کنار هم بالا می‌روند و هیچ‌وقت به هم نمی‌رسند، پس گوشه‌ی سومی نمی‌سازند

عددها هم همین را می‌گویند: دو زاویه‌ی قائمه خودشان ⁦۹۰° + ۹۰° = ۱۸۰°⁩ می‌شوند و چیزی برای زاویه‌ی سوم نمی‌ماند. به همین دلیل مثلث نمی‌تواند دو زاویه‌ی باز داشته باشد، یا حتی یک زاویه‌ی قائمه و یک زاویه‌ی باز.

در خانه امتحان کنید

آزمایش کندن گوشه‌ها را با دو مثلث کاغذی خیلی متفاوت انجام دهید.
دو زاویه‌ی یک مثلث ۴۰ و ۱۰۰ درجه است. زاویه‌ی سوم چند درجه است؟
یک مثلث قائم‌الزاویه یک زاویه‌ی ۳۵ درجه دارد. زاویه‌ی دیگری که قائمه نیست چند درجه است؟

جواب‌ها: ۲. ⁦۴۰° + ۱۰۰° = ۱۴۰°⁩ و ⁦۱۸۰° - ۱۴۰° = ۴۰°⁩. ۳. ⁦۹۰° + ۳۵° = ۱۲۵°⁩ و ⁦۱۸۰° - ۱۲۵° = ۵۵°⁩.

واژه‌های این درس

مجموع زاویه‌ها (angle sum) - همه‌ی زاویه‌های یک شکل با هم؛ برای هر مثلث ۱۸۰ درجه است

ایده‌ی اصلی

سه گوشه‌ی هر مثلثی کنار هم یک خط راست می‌سازند، پس مجموع زاویه‌های هر مثلث ۱۸۰ درجه است. برای همین مثلث حداکثر یک زاویه‌ی قائمه یا یک زاویه‌ی باز دارد.