باز کردن یک جعبه

جعبه‌ی خالی غلات صبحانه را می‌شود برای بازیافت صاف کرد. لبه‌های چسب‌خورده را از هم جدا می‌کنید، جعبه را از روی یال‌هایش باز می‌کنید، و یک تکه مقوای صاف روی میز می‌ماند. کارخانه هم جعبه را همین‌طور ساخته است: یک شکل صاف را چاپ کرده و بریده، بعد آن را تا زده و چسبانده است. این شکل صاف چه شکلی دارد؟

شکل فضایی، باز شده

در درس «شکل‌های فضایی» دیدیم که جعبه شش وجه است که از یال‌هایشان به هم وصل شده‌اند. اگر فقط به اندازه‌ی کافی از یال‌ها را ببُرید، وجه‌ها یک‌تکه می‌مانند و صاف باز می‌شوند.

به شکل صافی که به دست می‌آید گسترده (net) می‌گویند. اگر گسترده را دوباره از روی همان یال‌ها تا کنید، شکل فضایی دوباره ساخته می‌شود.

جعبه‌ی غلاتی که باز می‌شود: در یک طرف جعبه‌ی بسته، و در طرف دیگر تکه مقوای صافی که از باز شدنش به دست می‌آید، شش مستطیل که از لبه‌ها به هم وصل‌اند؛ هر وجه در هر دو تصویر یک رنگ دارد

هر وجه شکل فضایی، یک بار در گسترده‌اش هست. پس گسترده‌ی مکعب‌مستطیل ۶ مستطیل دارد، و گسترده‌ی هرمی با کف مربعی، ۱ مربع و ۴ مثلث.

گسترده‌های مکعب

مکعب ۶ وجه مربعی دارد، پس هر گسترده‌ی مکعب ۶ مربع است که ضلع به ضلع به هم وصل شده‌اند. معروف‌ترینش شبیه یک صلیب است: چهار مربع در یک ستون، و یک مربع در هر طرف یکی از آن‌ها.

اما این تنها گسترده‌ی مکعب نیست. اگر مکعب را از روی یال‌های دیگری باز کنید، گسترده‌های دیگری به دست می‌آید. ریاضی‌دان‌ها همه‌ی راه‌ها را بررسی کرده‌اند: مکعب دقیقاً ۱۱ گسترده‌ی متفاوت دارد (اگر گسترده‌ای را بچرخانیم یا پشت‌ورو کنیم، گسترده‌ی تازه‌ای حساب نمی‌شود).

۱۱ گسترده‌ی متفاوت مکعب، هر کدام از شش مربع که ضلع به ضلع به هم وصل‌اند

شش مربعی که تا نمی‌شوند

هر شکلی که از ۶ مربع ساخته شده باشد گسترده‌ی مکعب نیست. شش مربع را در یک ردیف بلند امتحان کنید: چهار مربع اول دور هم تا می‌شوند و یک حلقه می‌سازند، و دو مربع آخر روی مربع‌هایی می‌افتند که از قبل آنجا بوده‌اند. دو وجه روی هم می‌افتند و دو طرف مکعب باز می‌ماند.

مستطیلی از ۲ ردیف ۳تایی مربع هم جواب نمی‌دهد. نقطه‌ای را در وسطش ببینید که چهار مربع در آن به هم می‌رسند. در هر گوشه‌ی مکعب فقط سه وجه به هم می‌رسند، پس این چهار مربع نمی‌توانند همه دور یک گوشه تا شوند: دوتایشان باید روی هم بیفتند.

دو شکل از شش مربع که تا نمی‌شوند تا مکعب بسازند. ردیفی از شش مربع با شماره‌های ۱ تا ۶: مربع‌های ۱ تا ۴ دور هم یک حلقه می‌سازند، مربع ۵ روی مربع ۱ می‌افتد و مربع ۶ روی مربع ۲. و مستطیلی از دو ردیف سه‌تایی، با نقطه‌ای که چهار مربع در آن به هم می‌رسند

برای آزمودن یک گسترده، یکی از مربع‌ها را کف مکعب فرض کنید و بقیه را یکی‌یکی دور آن بالا بیاورید. اگر هر مربع وجه خودش را پیدا کند، بی‌آنکه چیزی اضافه بماند یا روی دیگری بیفتد، آن شکل گسترده‌ی مکعب است.

گسترده‌هایی با خط خمیده

استوانه هم گسترده دارد. دو دایره‌ی سرش را جدا کنید، بعد کناره‌ی خمیده‌اش را از بالا تا پایین ببُرید و باز کنید: کناره به یک مستطیل تبدیل می‌شود. پس گسترده‌ی استوانه یک مستطیل و دو دایره است. ضلع بلند مستطیل به اندازه‌ی محیط دایره‌ی سر استوانه است، چون یک دور کامل دور آن پیچیده بود.

قوطی کنسروی که باز شده و گسترده‌اش را ساخته است: یک مستطیل به جای برچسب، با یک دایره بالای آن و یک دایره زیر آن؛ ضلع بلند مستطیل هم‌اندازه‌ی دور هر دایره است

در خانه امتحان کنید

یک جعبه‌ی خالی را باز کنید. گسترده‌اش چند وجه دارد؟ زبانه‌ی اضافه‌ای هم برای چسب داشت؟
گسترده‌ی صلیبی مکعب را روی کاغذ شطرنجی با مربع‌های ۳ سانتی‌متری بکشید. آن را ببُرید و تا کنید تا مکعب شود.
برچسب یک قوطی کنسرو را جدا کنید (اول اجازه بگیرید). چه شکلی دارد؟

جواب‌ها: ۱. ۶ وجه، معمولاً با چند زبانه‌ی کوچک که از داخل چسبانده شده‌اند. ۳. مستطیل.

واژه‌های این درس

گسترده - شکلی صاف که تا می‌شود و یک شکل فضایی می‌سازد

ایده‌ی اصلی

گسترده همان شکل فضایی است که باز و صاف شده است. هر وجه یک بار در آن هست. مکعب ۱۱ گسترده‌ی متفاوت دارد، اما هر شش مربعی تا نمی‌شود تا مکعب بسازد، و گسترده‌ی استوانه یک مستطیل و دو دایره است.