نقطه و خط
بنّایی در شهر لاگوس، در نیجریه، می‌خواهد دیواری آجری بسازد. پیش از آنکه اولین آجر را بگذارد، دو چوب در زمین فرو می‌کند و نخی را میان آن‌ها محکم می‌کشد. بعد هر آجر را درست کنار همین نخ می‌چیند. چرا نخ، آن هم کشیده؟ خط راست چه ویژگی‌ای دارد که این‌قدر به کار می‌آید؟
نقطه: یک جا، نه یک چیز
هندسه (geometry) بخشی از ریاضی است که درباره‌ی شکل‌ها و فضاست. کوچک‌ترین ایده‌ی آن نقطه (point) است. نقطه فقط نشان می‌دهد چیزی کجا است، و دیگر هیچ. نه طول دارد، نه پهنا، نه هیچ اندازه‌ی دیگری.
روی نقشه ممکن است مدرسه‌ی شما را با یک خال نشان دهند. جوهرِ خال کمی اندازه دارد، اما نقطه فقط همان جاست: درست وسط خال. وقتی بخواهیم درباره‌ی یک نقطه حرف بزنیم، به آن نامی می‌دهیم، معمولاً یک حرف بزرگ لاتین: نقطه‌ی A، نقطه‌ی B. کتاب‌های هندسه‌ی ایران هم همین کار را می‌کنند.
خط، پاره‌خط و نیم‌خط
اگر دو نقطه را با خط‌کش به هم وصل کنید، مسیری راست به دست می‌آید. ریاضی‌دان‌ها بسته به اینکه این مسیر کجا تمام شود، سه نام برایش دارند:
- خط (line) راست است و از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد. هیچ‌کس نمی‌تواند یک خط را کامل بکشد؛ برای همین تکه‌ای از آن را می‌کشیم و در هر سرش یک سر پیکان می‌گذاریم، یعنی «همین‌طور ادامه دارد».
- پاره‌خط (line segment) تکه‌ای از خط است که دو سر دارد. لبه‌ی میز، یک مداد، و نخی که بنّا میان دو چوب کشیده، هر کدام یک پاره‌خط‌اند.
- نیم‌خط (ray) از یک نقطه شروع می‌شود و از یک طرف تا بی‌نهایت می‌رود، مثل نور چراغ‌قوه‌ای که شب رو به آسمان گرفته‌اید. آن را با یک نقطه در ابتدا و یک سر پیکان در سر دیگر می‌کشیم.
راست (straight) یعنی مسیر هیچ‌جا خم نمی‌شود و از اول تا آخر در یک جهت می‌رود.
کوتاه‌ترین راه
دو نقطه، A و B، روی کاغذ بگذارید. از A به B راه‌های زیادی می‌شود کشید: راه‌های پیچ‌وتاب‌دار، راه‌های خمیده، راه‌هایی که دور خودشان می‌چرخند. اما فقط یکی از آن‌ها راست است، و همان یکی کوتاه‌ترین است.
این را از زندگی روزمره هم می‌دانید: مردم از وسط چمن میان‌بُر می‌زنند و کم‌کم باریکه‌راهی روی چمن پیدا می‌شود. نخِ کشیده‌ی بنّا هم کوتاه‌ترین مسیر میان دو چوب را می‌گیرد، و برای همین خط راست را نشان می‌دهد.
نکته‌ی دیگری هم این‌جا هست. از دو نقطه دقیقاً یک خط راست می‌گذرد، نه بیشتر. به همین دلیل دو چوب برای بنّا بس است: وقتی جای دو نقطه معلوم شد، جای خط هم معلوم است.
در خانه امتحان کنید
- دو نقطه روی یک برگ کاغذ بگذارید. یک تکه نخ را با پیچ‌وتاب از یکی به دیگری بکشید، بعد نخ را صاف و محکم بکشید. کدام بلندتر است؟
- برگ کاغذی را تا کنید و جای تا را صاف فشار دهید. بازش کنید. جای تا چه جور خطی است؟
- دور و بر اتاق را نگاه کنید. سه پاره‌خط پیدا کنید. آیا چیزی پیدا می‌کنید که مثل نیم‌خط باشد؟
جواب‌ها: ۱. مسیر پیچ‌وتاب‌دار. ۲. یک پاره‌خط راست. ۳. لبه‌ی میز، در و کتاب پاره‌خط‌اند؛ نور چراغ‌قوه مثل نیم‌خط است.
واژه‌های این درس
- نقطه (point) - یک جا، بی هیچ اندازه‌ای؛ با یک حرف بزرگ لاتین نام‌گذاری می‌شود، مثل A
- خط (line) - مسیری راست که از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد
- پاره‌خط (line segment) - تکه‌ای از خط که دو سر دارد
- نیم‌خط (ray) - مسیری راست که از یک نقطه شروع می‌شود و از یک طرف تا بی‌نهایت می‌رود
- راست (straight) - بی هیچ خمیدگی، همیشه در یک جهت
ایده‌ی اصلی
نقطه جایی است که اندازه ندارد. خط، پاره‌خط و نیم‌خط مسیرهای راستی‌اند که فقط در جایی که تمام می‌شوند با هم فرق دارند. مسیر راست میان دو نقطه کوتاه‌ترین مسیر است، و فقط یکی است.