مساحت متوازی‌الاضلاع
در بعضی شهرهای قدیمی دو خیابان کج به هم می‌رسند و باغچه‌ی میانشان مستطیل نیست؛ ضلع‌هایش کج‌اند. باغبان می‌خواهد روی باغچه چمن آماده پهن کند و باید بداند چقدر چمن بخرد. وقتی لبه‌های شکل از وسطِ مربع‌ها می‌گذرند، شمردن مربع‌ها سخت است. آیا راه ساده‌تری برای پیدا کردن مساحتِ شکلی کج هست؟
مستطیلی که کج شده است
شکلی مثل این باغچه متوازی‌الاضلاع است: چهار ضلع دارد و هر ضلعش با ضلعِ روبه‌رویش موازی است. با آن در درس «چهارضلعی‌ها» آشنا شدیم. در درس «مساحت مستطیل» دیدیم که مساحت مستطیل طول ضرب در عرض است. متوازی‌الاضلاع شبیه مستطیلی است که کسی هُلش داده و کجش کرده است. آیا می‌شود دوباره صافش کرد؟
ببُرید و جابه‌جا کنید
یک متوازی‌الاضلاع از کاغذ ببُرید. از یکی از گوشه‌های بالا، صاف رو به پایین و با زاویه‌ی قائمه، تا ضلعِ پایینی ببُرید. از یک سرِ شکل مثلثی جدا می‌شود. این مثلث را به سرِ دیگر ببرید: درست در جای خالی می‌نشیند. حالا شکل یک مستطیل است.
چیزی اضافه نشد و چیزی هم دور ریخته نشد. همه‌ی تکه‌های کاغذ سر جایشان هستند، پس مساحت مستطیل با مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است.
طول این مستطیل همان ضلعِ پایینیِ متوازی‌الاضلاع است. به این ضلع قاعده (base) می‌گوییم. بلندی مستطیل هم همان بُرشِ صاف رو به پایین است. به این فاصله ارتفاع (height) می‌گوییم. پس:
- مساحت متوازی‌الاضلاع = قاعده × ارتفاع
ارتفاع صاف رو به بالاست
اشتباهی هست که باید مراقبش بود: ارتفاع همان ضلعِ کج نیست. ارتفاع فاصله‌ی صاف رو به بالا از قاعده تا ضلعِ بالایی است، با زاویه‌ی قائمه نسبت به قاعده، درست مثل بُرشی که زدیم.
قاعده‌ی این متوازی‌الاضلاع ۶ سانتی‌متر و ضلعِ کجش ۵ سانتی‌متر است. ارتفاعش ۴ سانتی‌متر است. پس مساحتش ۶ × ۴ = ۲۴ cm² است. اگر قاعده را در ضلعِ کج ضرب کنیم، ۶ × ۵ = ۳۰ cm² به دست می‌آید که زیاد است: ضلعِ کج از ارتفاع بلندتر است.
کج بودن مهم نیست؛ فقط قاعده و ارتفاع مهم‌اند. اگر متوازی‌الاضلاع را بیشتر و بیشتر هل بدهیم اما قاعده و ارتفاعش را ثابت نگه داریم، مساحتش تغییر نمی‌کند. در صفحه‌ی شطرنجیِ زیر، هر سه شکل ۱۲ مربع را می‌پوشانند.
در خانه امتحان کنید
- روی کاغذ یک متوازی‌الاضلاع بکشید و آن را ببُرید. از یک گوشه‌ی بالا صاف رو به پایین ببُرید و مثلث را به سرِ دیگر ببرید. آیا مستطیل می‌شود؟
- قاعده‌ی یک متوازی‌الاضلاع ۸ سانتی‌متر و ارتفاعش ۳ سانتی‌متر است. مساحتش چقدر است؟
- قاعده‌ی یک متوازی‌الاضلاع ۱۰ متر، ضلعِ کجش ۶ متر و ارتفاعش ۵ متر است. مساحتش چقدر است؟
جواب‌ها: ۱. بله، همیشه. ۲. ۸ × ۳ = ۲۴ cm². ۳. ۱۰ × ۵ = ۵۰ m² (ضلعِ کج، یعنی ۶ متر، به کار نمی‌آید).
واژه‌های این درس
- قاعده (base) - ضلعی که شکل روی آن ایستاده و اندازه‌گیری را از آن شروع می‌کنیم
- ارتفاع (height) - فاصله‌ی صاف رو به بالا از قاعده تا بالای شکل، با زاویه‌ی قائمه نسبت به قاعده
ایده‌ی اصلی
اگر از متوازی‌الاضلاع مثلثی ببُرید و به سرِ دیگرش ببرید، مستطیلی با همان مساحت به دست می‌آید. پس مساحت متوازی‌الاضلاع قاعده ضرب در ارتفاع است، و ارتفاع را صاف رو به بالا اندازه می‌گیریم، نه روی ضلعِ کج.