مساحت دایره
لیلا می‌خواهد روی یک میز گرد را رنگ کند. روی قوطی رنگ نوشته که هر قوطی ۱ متر مربع را می‌پوشاند. یک قوطی بس است؟ لیلا باید مساحت دایره را بداند. اما دایره ضلع راست ندارد، پس مربع‌هایی که در درس «مساحت: شمردن مربع‌ها» شمردیم هیچ‌وقت دقیق درونش جا نمی‌شوند. مساحت دایره را چطور پیدا کنیم؟
دایره را برش بزنید
دایره را مثل پیتزا به ۸ برش برابر ببُرید. برش‌ها را در یک ردیف بچینید: یکی با نوک به بالا، بعدی با نوک به پایین، و همین‌طور تا آخر. چیزی اضافه یا کم نشده، پس مساحت این ردیف با مساحت دایره برابر است.
این ردیف شبیه یک متوازی‌الاضلاع است که لبه‌های بالا و پایینش دندانه‌دار است. حالا ۱۶ برش بزنید، بعد ۳۲ برش. هرچه برش‌ها باریک‌تر باشند، دندانه‌ها صاف‌تر می‌شوند و ردیف بیشتر شبیه یک مستطیل می‌شود.
مستطیل را اندازه بگیرید
به این شکلِ تقریباً مستطیلی که از برش‌های خیلی باریک ساخته شده نگاه کنید:
- ارتفاعش درازای یک برش است، یعنی شعاع دایره.
- طولش از لبه‌ی خمیده‌ی نیمی از برش‌ها ساخته شده، چون نیم دیگر پایین‌اند. پس طولش نصف محیط دایره است. در درس قبل دیدیم محیط دایره ۲ × π × شعاع است، پس نصف آن π × شعاع است.
در درس «مساحت مستطیل» دیدیم مساحت مستطیل طول × عرض است. این‌جا یعنی (π × شعاع) × شعاع. پس:
- مساحت دایره = π × شعاع × شعاع
مساحت دایره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر حدود ۳٫۱۴ × ۱۰ × ۱۰ = ۳۱۴ سانتی‌متر مربع است.
جور درمی‌آید؟
دایره‌ی شعاع ۱۰ سانتی‌متری را درون مربعی بگذارید که درست دورش جا می‌شود. هر ضلع این مربع ۲۰ سانتی‌متر است، پس مساحتش ۲۰ × ۲۰ = ۴۰۰ سانتی‌متر مربع است. دایره از مربع کوچک‌تر است: ۳۱۴ از ۴۰۰ کمتر است. حالا یکی از مربع‌های کوچکِ روی شعاع را در نظر بگیرید، ۱۰ در ۱۰، یعنی ۱۰۰ سانتی‌متر مربع. دایره کمی بیشتر از ۳ تا از این مربع‌های کوچک جا دارد، و این با «π × شعاع × شعاع» جور درمی‌آید: ۳٫۱۴ مربع کوچک.
پهنای میز لیلا ۱ متر است، پس شعاعش نیم متر، یعنی ۰٫۵ متر است. مساحتش حدود ۳٫۱۴ × ۰٫۵ × ۰٫۵، یعنی حدود ۰٫۷۹ متر مربع است. یک قوطی رنگ بس است و کمی هم اضافه می‌ماند.
در خانه امتحان کنید
- روی کاغذ دایره‌ای بکشید، آن را ببُرید، سه بار از وسط تا کنید و از روی تاها ببُرید تا ۸ برش داشته باشید. برش‌ها را سر و ته کنار هم بچینید.
- مساحت یک فرش گرد به شعاع ۲ متر را پیدا کنید.
- شعاع یک دایره را از ۳ سانتی‌متر به ۶ سانتی‌متر برسانید. مساحتش چند برابر می‌شود؟
جواب‌ها: ۲. حدود ۳٫۱۴ × ۲ × ۲ = ۱۲٫۵۶ متر مربع. ۳. ۳ × ۳ = ۹ و ۶ × ۶ = ۳۶، پس ۴ برابر.
واژه‌های این درس
- مساحت دایره - π × شعاع × شعاع؛ آن را با بریدن دایره به برش‌های باریک پیدا می‌کنیم که تقریباً یک مستطیل می‌سازند
ایده‌ی اصلی
اگر دایره را به برش‌های باریک ببُرید و برش‌ها را سر و ته کنار هم بچینید، تقریباً مستطیلی می‌سازند که ارتفاعش یک شعاع و طولش نصف محیط دایره است. پس مساحت دایره π × شعاع × شعاع است.