مثلث‌ها
به بدنه‌ی یک دوچرخه نگاه کنید، یا به جرثقیل یک ساختمان نیمه‌کاره، یا به اسکلت فلزی یک پل قدیمی راه‌آهن. همه‌جا مثلث می‌بینید. سازندگان می‌توانستند از مربع یا شش‌ضلعی استفاده کنند، اما بارها و بارها مثلث را انتخاب می‌کنند. چرا؟ و آیا همه‌ی مثلث‌ها مثل هم‌اند؟
دسته‌بندی با ضلع‌ها
مثلث چندضلعی‌ای با ۳ ضلع و ۳ رأس است. اگر ضلع‌هایش را اندازه بگیرید، یکی از این سه نوع است:
- متساوی‌الاضلاع (equilateral): هر سه ضلع هم‌اندازه‌اند؛
- متساوی‌الساقین (isosceles): دو ضلع هم‌اندازه‌اند؛
- مختلف‌الاضلاع (scalene): هر سه ضلع طول‌های متفاوتی دارند.
در تصویرها، ضلع‌های هم‌اندازه را با خط‌های کوچکِ یکسانی روی‌شان علامت می‌زنیم. اگر دو ضلع هر کدام یک خط داشته باشند، آن دو با هم برابرند؛ ضلعی که دو خط دارد اندازه‌ی دیگری دارد.
مثلث متساوی‌الاضلاع همان مثلث منتظمِ درس پیش است: ضلع‌هایش برابرند و زاویه‌هایش هم.
دسته‌بندی با زاویه‌ها
حالا به جای ضلع‌ها به زاویه‌ها نگاه کنید. در درس «اندازه‌گیری زاویه با درجه» با زاویه‌ی قائمه (۹۰ درجه)، زاویه‌ی تند (کمتر از ۹۰ درجه) و زاویه‌ی باز (بیشتر از ۹۰ و کمتر از ۱۸۰ درجه) آشنا شدیم. مثلث می‌تواند این‌ها باشد:
- مثلث قائم‌الزاویه (right-angled triangle): یکی از زاویه‌هایش قائمه است، مثل گوشه‌ی یک برگ کاغذ؛
- مثلثی با یک زاویه‌ی باز، که پهن و کشیده به نظر می‌آید؛
- مثلثی که هر سه زاویه‌اش تند است.
مثلث هیچ‌وقت بیش از یک زاویه‌ی قائمه یا بیش از یک زاویه‌ی باز ندارد. درس بعد دلیلش را نشان می‌دهد.
این دو جور دسته‌بندی با هم جمع می‌شوند. مثلث می‌تواند هم قائم‌الزاویه باشد و هم متساوی‌الساقین: یک کاغذ مربعی را از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو تا کنید تا یکی از این مثلث‌ها به دست بیاید.
مثلث لق نمی‌شود
با چهار چوب یک مربع بسازید و گوشه‌ها را با پونزی وصل کنید که بگذارد چوب‌ها بچرخند. یک گوشه را هل بدهید: مربع کج می‌شود و شکلی خوابیده‌تر پیدا می‌کند. طول ضلع‌ها همان است که بود، اما زاویه‌ها عوض شده‌اند.
حالا با سه چوب یک مثلث بسازید. هر قدر می‌خواهید هلش بدهید: شکلش عوض نمی‌شود. سه ضلع با طول‌های ثابت فقط به یک شکل کنار هم جا می‌شوند، پس زاویه‌ها هم نمی‌توانند عوض شوند. برای اینکه مثلثی را له کنید، باید یکی از ضلع‌هایش را خم کنید یا بشکنید.
برای همین است که سازندگان مثلث به کار می‌برند: قابی که از مثلث ساخته شود محکم می‌ماند. روی در چوبی باغ هم به همین دلیل تخته‌ای از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو می‌کوبند: این تخته مستطیل را به دو مثلث تقسیم می‌کند.
در خانه امتحان کنید
- سه نی به طول‌های ۱۰، ۱۰ و ۶ سانتی‌متر ببُرید و آن‌ها را به یک نخ بکشید. چه نوع مثلثی می‌سازند؟
- با چهار نی و نخ یک مربع بسازید و هلش بدهید. بعد یک نخ دیگر از یک گوشه تا گوشه‌ی روبه‌رو ببندید. چه اتفاقی می‌افتد؟
- آیا مثلث می‌تواند هم متساوی‌الاضلاع باشد و هم قائم‌الزاویه؟
جواب‌ها: ۱. متساوی‌الساقین. ۲. مربع کج می‌شود؛ با نخ اضافه، شکل دو مثلث می‌شود و محکم می‌ماند. ۳. نه: سه زاویه‌ی مثلث متساوی‌الاضلاع با هم برابرند، و سه زاویه‌ی قائمه خیلی زیاد است (درس بعد نشان می‌دهد مجموع زاویه‌ها همیشه ۱۸۰ درجه است).
واژه‌های این درس
- مثلث متساوی‌الاضلاع (equilateral) - هر سه ضلع برابر
- مثلث متساوی‌الساقین (isosceles) - دو ضلع برابر
- مثلث مختلف‌الاضلاع (scalene) - هر سه ضلع متفاوت
- مثلث قائم‌الزاویه (right-angled) - یکی از زاویه‌ها قائمه است
ایده‌ی اصلی
مثلث‌ها را از روی ضلع‌هایشان (متساوی‌الاضلاع، متساوی‌الساقین، مختلف‌الاضلاع) و از روی زاویه‌هایشان (قائم‌الزاویه، با یک زاویه‌ی باز، یا با همه‌ی زاویه‌های تند) دسته‌بندی می‌کنیم. سه ضلع فقط به یک شکل کنار هم جا می‌شوند، پس مثلث لق نمی‌شود.