خانواده‌ی عددها
این دوره با چوپانی شروع شد که گوسفندهایش را می‌شمرد: ۱، ۲، ۳. از آن موقع با نوع‌های زیادی از عدد آشنا شده‌ایم: صفر، عددهای زیر صفر، کسرها، عددهای اعشاری. این‌ها چیزهای جدا از هم‌اند؟ یا به هم تعلق دارند؟
هر نوع به پرسشی تازه جواب می‌دهد
ببینید هر نوع عدد چطور وارد شد:
- عددهای طبیعی، ۱، ۲، ۳، ...، به پرسشِ «چندتا؟» جواب می‌دهند (درس «چرا می‌شماریم؟»).
- صفر به پرسشِ «چندتا، وقتی هیچ نیست؟» جواب می‌دهد و جای خالی ۲۰۵ را پر می‌کند (درس «صفر»). با صفر، عددهای حسابی (whole numbers) را داریم: ۰، ۱، ۲، ۳، ...
- عددهای منفی به پرسشِ «۳ - ۷ چند می‌شود؟» جواب می‌دهند، که عددهای حسابی جوابی برایش نداشتند (درس «زیر صفر»). عددهای منفی همراه با عددهای حسابی عددهای صحیح را می‌سازند: ...، -۲، -۱، ۰، ۱، ۲، ...
- کسرها به پرسشِ «۳ ÷ ۴ چند می‌شود؟» جواب می‌دهند، که عددهای صحیح جوابی برایش نداشتند (درس «میان عددهای درست»).
هر بار، حسابی که جواب نداشت مردم را به پیدا کردن نوع تازه‌ای از عدد رساند.
یک خانواده، یکی درون دیگری
عددهای تازه عددهای قدیمی را بیرون نکردند. هر عدد طبیعی هنوز یک عدد حسابی است: ۳ یک عدد حسابی است. هر عدد حسابی هنوز یک عدد صحیح است. و هر عدد صحیح یک کسر هم هست: ۳ همان ۳/۱ است، یعنی سه کل.
پس نوع‌های عدد یکی درون دیگری جا می‌گیرند، مثل جعبه‌هایی درون جعبه‌ها. ریاضی‌دان‌ها به بزرگ‌ترین جعبه‌ی اینجا، یعنی همه‌ی عددهایی که می‌شود آن‌ها را به شکل کسر نوشت، عددهای گویا (rational numbers) می‌گویند. (واژه‌ی انگلیسی‌اش از ratio می‌آید، یعنی نسبت: یک عدد تقسیم بر عددی دیگر.)
همه روی یک خط
همه‌ی آن‌ها روی محور اعداد جا دارند: عددهای منفی سمت چپ صفر، کسرها و عددهای اعشاری در فاصله‌های میان عددهای درست. عدد اعشاری هم یک کسر است: ۰٫۷۵ همان ۷۵/۱۰۰ است و ۲٫۵ همان ۲۵/۱۰.
آیا هر نقطه‌ی روی خط یک کسر است؟ به نظر می‌رسد باید این‌طور باشد: کسرها همه‌جا هستند، و میان هر دو کسر همیشه کسر دیگری هست. اما جواب غافلگیرکننده نه است. حدود ۲٬۵۰۰ سال پیش، ریاضی‌دان‌های یونانی طول‌هایی پیدا کردند که هیچ کسری نمی‌تواند دقیقاً اندازه‌شان بگیرد، مثل قطر مربعی که هر ضلعش ۱ است. این عددها برای «عددها، سطح ۲» می‌مانند.
در خانه امتحان کنید
۱. عددهای -۳، ۱/۲، ۷، ۰ و ۲٫۵ را روی تکه‌کاغذهایی بنویسید. دسته‌بندی‌شان کنید: کدام‌ها عدد طبیعی‌اند؟ کدام‌ها عدد حسابی؟ عدد صحیح؟ کدام را می‌شود به شکل کسر نوشت؟ ۲. در خانه عددی پیدا کنید که عدد طبیعی نیست: یک دما، یک قیمت، یک اندازه.
جواب‌های ۱: عدد طبیعی: ۷. عدد حسابی: ۷ و ۰. عدد صحیح: -۳، ۷ و ۰. کسر: هر پنج تا (۲٫۵ همان ۵/۲ است و ۷ همان ۷/۱).
واژه‌های این درس
- عددهای حسابی (whole numbers) - ۰، ۱، ۲، ۳ و همین‌طور تا آخر
- عددهای صحیح (integers) - عددهای حسابی و عددهای منفی: ...، -۲، -۱، ۰، ۱، ۲، ...
- عددهای گویا (rational numbers) - همه‌ی عددهایی که می‌شود به شکل کسر نوشت
ایده‌ی اصلی
هر نوع تازه‌ی عدد به پرسشی جواب داد که نوع‌های قبلی نمی‌توانستند: صفر، منفی‌ها، کسرها. این نوع‌ها یکی درون دیگری جا می‌گیرند، و همه را می‌شود به شکل کسر نوشت: عددهای گویا. اما هر نقطه‌ی محور اعداد یک عدد گویا نیست.