یکان، دهگان، صدگان
به عدد ۳۳۳ نگاه کنید. با یک رقم سه بار نوشته شده است. اما این سه تا ۳ یک معنا ندارند. یکی یعنی سیصد، یکی یعنی سی و یکی یعنی سه. یک نماد چطور می‌تواند سه مقدار مختلف را نشان دهد؟
دسته‌های ده‌تایی
فرض کنید یک کپه‌ی بزرگ چوب دارید که باید بشمارید. به جای شمردن یکی‌یکی، آن‌ها را ده‌تا‌ده‌تا می‌بندید. وقتی ده دسته داشتید، آن‌ها را با هم در یک دسته‌ی بزرگ صدتایی می‌بندید.
حالا می‌توانید کپه را خیلی سریع توصیف کنید. فرض کنید ۲ دسته‌ی بزرگ، ۴ دسته و ۳ چوب تنها دارید. یعنی دو صدتا، چهار ده‌تا و سه یکی: ۲۴۳ چوب.
این همان ایده‌ی گروه‌های پنج‌تایی در درس «با یک نگاه» است، اما با ده. چرا ده؟ به احتمال زیاد چون مردم شمردن را با ده انگشت خود یاد گرفتند.
جای هر رقم
به هر کدام از نمادهای یک عدد رقم (digit) می‌گویند. در ۲۴۳ سه رقم هست: ۲، ۴ و ۳.
وقتی عددی می‌نویسیم، جای هر رقم می‌گوید آن رقم چه چیزی را می‌شمارد:
- جای سمت راست یکان است و یکی‌ها را می‌شمارد؛
- جای کنارش دهگان است و ده‌تایی‌ها را می‌شمارد؛
- جای بعدی صدگان است؛
- و جای بعدی هزارگان: ده تا صدتایی.
پس ۳ در ۳۰۰ یعنی سه صدتایی، ۳ در ۳۳۰ یعنی سه ده‌تایی، و ۳ در ۳۳۳ یعنی سه یکی. یک رقم هر چه چپ‌تر بایستد، ارزشش بیشتر است. به این روش نوشتن عدد ارزش مکانی (place value) می‌گویند: ارزش هر رقم به جایش بستگی دارد.
صفر جاها را نگه می‌دارد
حالا مهم‌ترین کار صفر را می‌بینیم، که آخر درس «صفر» به آن اشاره شد. عدد ۲۰۵ را در نظر بگیرید: دو صدتایی، هیچ ده‌تایی و پنج یکی. اگر نمادی برای «هیچ ده‌تایی» نداشتیم، این عدد مثل ۲۵ دیده می‌شد که عدد بسیار متفاوتی است.
صفر جانگه‌دار (placeholder) است. می‌گوید: «در این جا چیزی نیست، اما جایش هنوز هست.» صفر رقم‌های دیگر را سر جایشان نگه می‌دارد.
۲۵ و ۲۰۵ و ۲۵۰ و ۲٬۰۰۵ همه با رقم‌های ۲ و ۵ نوشته می‌شوند. فقط صفرها آن‌ها را از هم جدا می‌کنند.
وقتی به ده می‌رسیم، یک جا به چپ می‌رویم
بشمارید: ۷، ۸، ۹... و بعد؟ برای ده رقم تنهایی نداریم. پس در جای دهگان ۱ می‌نویسیم، یعنی «یک دسته‌ی ده‌تایی»، و در جای یکان ۰، یعنی «هیچ یکیِ تنها»: ۱۰.
در ۹۹ + ۱ هم همین اتفاق می‌افتد. ده یکی یک ده‌تایی می‌شود و ده ده‌تایی یک صدتایی: ۱۰۰. هر بار که جایی به ده می‌رسد، در جای بعدیِ سمت چپ یک می‌شود.
در خانه امتحان کنید
۱. ۳۵ دانه لوبیا یا چوب کبریت بشمارید. آن‌ها را ده‌تا‌ده‌تا در لیوان بریزید. چند لیوان پر و چند تا اضافه دارید؟ با رقم‌های ۳۵ جور است؟ ۲. عددی را بنویسید که پنج صدتایی، هیچ ده‌تایی و هفت یکی دارد. بعد عددی که هفت صدتایی، پنج ده‌تایی و هیچ یکی دارد. جواب‌ها پایین آمده است.
جواب‌ها: ۵۰۷ و ۷۵۰.
واژه‌های این درس
- رقم (digit) - هر کدام از ده رقم ۰ تا ۹، در جایی که در یک عدد ایستاده
- ارزش مکانی (place value) - این قاعده که ارزش هر رقم به جایش بستگی دارد: یکان، دهگان، صدگان، هزارگان
- جانگه‌دار (placeholder) - صفری که جایی را خالی نگه می‌دارد تا رقم‌های دیگر سر جایشان بمانند
ایده‌ی اصلی
عددها را در گروه‌های ده‌تایی می‌نویسیم. جای هر رقم می‌گوید یکی‌ها را می‌شمارد یا ده‌تایی‌ها، صدتایی‌ها یا هزارتایی‌ها، و صفر جای خالی را نگه می‌دارد. برای همین ده رقم برای هر عددی کافی است.