یک مقدار، چند اسم
سارا شکلاتش را به ۲ تکه‌ی برابر می‌برد و یک تکه را می‌خورد. بردیا همان نوع شکلات را به ۴ تکه‌ی برابر می‌برد و دو تکه را می‌خورد. بردیا می‌گوید: «من بیشتر خوردم. من ۲ تکه خوردم و تو فقط ۱ تکه.» حق با بردیاست؟
دو اسم برای یک مقدار
دو شکلات را کنار هم بگذارید. سارا ۱/۲ شکلاتش را خورده است و بردیا ۲/۴ شکلاتش را. بخشی که خورده شده دقیقاً یک اندازه است: تکه‌های بردیا کوچک‌ترند، اما او دو تا از آن‌ها را خورده است.
- ۱/۲ = ۲/۴.
اگر شکلات را به ۸ تکه ببرید، نصف شکلات ۴ تا از آن‌هاست: ۴/۸. پس ۱/۲ و ۲/۴ و ۴/۸ سه اسم برای یک مقدارند. به کسرهایی مثل این‌ها، که مقدارشان یکی است، کسرهای مساوی (equivalent fractions) می‌گویند.
پس حق با بردیا نیست. شمردن تکه‌ها فقط وقتی درست است که تکه‌ها یک اندازه باشند.
ساختن کسرهای مساوی
ببینید وقتی هر تکه را دو نیم کردیم، چه بر سر عددها آمد:
- تعداد بخش‌ها دو برابر شد: ۲ شد ۴؛
- تعداد بخش‌هایی که داریم هم دو برابر شد: ۱ شد ۲.
اگر هر تکه را دو نیم کنید، هر دو عدد دو برابر می‌شوند، و اگر سه تکه کنید، هر دو در ۳ ضرب می‌شوند. مقدار عوض نمی‌شود. پس برای ساختن یک کسر مساوی، صورت و مخرج را در یک عدد ضرب کنید:
- ۱/۳ = ۲/۶ = ۳/۹، با ضرب در ۲ و بعد در ۳.
برعکسش هم درست است. ۶ و ۸ هر دو بر ۲ بخش‌پذیرند: ۶/۸ = ۳/۴.
کدام بزرگ‌تر است؟
اگر مخرج‌ها برابر باشند، تکه‌ها یک اندازه‌اند، پس فقط بشمارید: ۵/۸ از ۳/۸ بیشتر است.
اگر صورت‌ها برابر باشند، به اندازه‌ی تکه‌ها نگاه کنید. ۱/۳ پیتزا بیشتر است یا ۱/۲ آن؟ بریدن به ۳ تکه، تکه‌های کوچک‌تری می‌دهد تا بریدن به ۲ تکه. پس ۱/۳ از ۱/۲ کمتر است، با اینکه ۳ از ۲ بزرگ‌تر است. هر چه کل به بخش‌های بیشتری بریده شود، هر بخش کوچک‌تر است.
۱/۴ یک کیک را ترجیح می‌دهید یا ۱/۱۰ آن را؟ یک‌چهارم را: تکه‌ی خیلی بزرگ‌تری است.
در خانه امتحان کنید
۱. یک برگ کاغذ را از وسط تا کنید، و برگ دیگری را از وسط و بعد دوباره از وسط. نصف هر کدام را رنگ کنید. بخش‌های رنگی هم‌اندازه‌اند؟ ۲. دو کسر دیگر بنویسید که با ۱/۲ مساوی باشند. ۳. کدام بیشتر است: ۲/۵ یا ۴/۵؟ ۱/۵ یا ۱/۶؟ جواب‌ها پایین آمده است.
جواب‌ها: ۲. هر کدام از ۳/۶، ۵/۱۰، ۱۰/۲۰ و ... ۳. ۴/۵؛ ۱/۵.
واژه‌های این درس
- کسرهای مساوی (equivalent fractions) - کسرهایی که مقدارشان یکی است، مثل ۱/۲ و ۲/۴
ایده‌ی اصلی
کسرهای متفاوت می‌توانند یک مقدار باشند: ۱/۲ = ۲/۴ = ۴/۸. اگر صورت و مخرج را در یک عدد ضرب کنید، کسری مساوی به دست می‌آید. اگر صورت‌ها برابر باشند، مخرج بزرگ‌تر یعنی تکه‌های کوچک‌تر، پس ۱/۳ از ۱/۲ کمتر است.