شمردن با گروه‌های دیگر
۵۹ دقیقه از یک مسابقه‌ی فوتبال گذشته است. یک دقیقه بعد، ساعت نمی‌گوید ۶۰ دقیقه: می‌گوید ۱ ساعت. چیزی پر می‌شود و جای تازه‌ای شروع می‌شود - درست مثل وقتی که ۹ به ۱۰ می‌رسد. آیا ده‌تا‌ده‌تا شمردن تنها راه است؟
ده یک انتخاب است
در درس «یکان، دهگان، صدگان» دیدیم که عددهای ما بر پایه‌ی دسته‌های ده‌تایی ساخته شده‌اند: ده یکی یک ده‌تایی می‌شود و ده ده‌تایی یک صدتایی. به احتمال زیاد این ده به خاطر ده انگشت ماست.
اما هیچ چیز در ریاضی نمی‌گوید که دسته باید ده‌تایی باشد. می‌شود چوب‌ها را پنج‌تا‌پنج‌تا، دوازده‌تا‌دوازده‌تا یا شصت‌تا‌شصت‌تا بست. ایده‌ی جاها برای هر اندازه‌ای همین‌طور کار می‌کند: وقتی جایی پر شد، در جای بعدیِ سمت چپ یک می‌شود.
به اندازه‌ی دسته مبنا (base) می‌گویند. عددهای روزمره‌ی ما مبنای ده هستند.
شصت: ساعت
حدود ۴٬۰۰۰ سال پیش، مردم بابل شصت‌تا‌شصت‌تا می‌شمردند. ما هنوز هر روز روش آن‌ها را روی ساعت به کار می‌بریم:
- ۶۰ ثانیه یک دقیقه می‌شود؛
- ۶۰ دقیقه یک ساعت می‌شود.
پس دقیقه‌های ساعت مثل جایی‌اند که در ۶۰ پر می‌شود، نه در ۱۰. بعد از ۵۹ دقیقه، ۱ ساعت و ۰ دقیقه می‌آید، مثل وقتی که ۹ به ۱۰ می‌رسد.
شصت اندازه‌ی به‌دردبخوری است، چون به روش‌های زیادی تقسیم می‌شود: به دو، سه، چهار، پنج، شش و ده قسمت مساوی. برای همین یک ساعت به‌راحتی به ۳۰، ۲۰، ۱۵، ۱۲ یا ۱۰ دقیقه تقسیم می‌شود.
دو: رایانه
رایانه با کلیدهای بسیار کوچکی کار می‌کند که هر کدام یا خاموش‌اند یا روشن. دو حالت دارند، پس رایانه‌ها در مبنای دو می‌شمارند، فقط با دو رقم: ۰ و ۱.
در مبنای دو، هر جا در دو پر می‌شود. پس شمردن این‌طور پیش می‌رود:
- ۰، بعد ۱ (یک)؛
- حالا جای یکان پر شده است، پس: ۱۰ (یک دوتایی، هیچ یکی) - این یعنی دو؛
- ۱۱ - یک دوتایی و یک یکی، یعنی سه؛
- ۱۰۰ - این یعنی چهار، چون دو دوتایی جای بعدی را پر می‌کنند.
پس در مبنای دو، «۱۰» یعنی دو، نه ده. هر عکس، آهنگ و پیامی که در تلفن شماست به شکل ردیف‌های بلندی از ۰ و ۱ مثل این‌ها نگه داشته می‌شود.
همان عددها، نوشتن‌های مختلف
مبنا هر چه باشد، مقدارها همان‌اند: هفت گوسفند همان هفت گوسفند است. فقط روش نوشتن آن‌ها عوض می‌شود. مبنای دو هفت را ۱۱۱ می‌نویسد (یک چهارتایی، یک دوتایی و یک یکی). مبنای ده آن را ۷ می‌نویسد.
در خانه امتحان کنید
۱. به یک ساعت نگاه کنید. بعد از ۴:۵۹ چه می‌آید؟ بعد از ۹:۵۹ چه؟ کدام جا «پر می‌شود»؟ ۲. انگشت‌هایتان را در مبنای دو بشمارید: انگشت خوابیده یعنی ۰ و انگشت بالا یعنی ۱. فقط با دو انگشت تا کجا می‌توانید بشمارید؟ جواب پایین آمده است.
جواب: تا سه (۰۰، ۰۱، ۱۰، ۱۱).
واژه‌های این درس
- مبنا (base) - اندازه‌ی دسته‌ای که یک جا را پر می‌کند؛ عددهای روزمره‌ی ما مبنای ده هستند
- مبنای دو (base two) - شمردن با دسته‌های دوتایی و فقط با رقم‌های ۰ و ۱، همان کاری که رایانه‌ها می‌کنند
ایده‌ی اصلی
عددهای ما ده‌تا‌ده‌تا گروه می‌شوند، اما هر اندازه‌ی گروهی به همین روش کار می‌کند: وقتی جایی پر شد، در جای بعدی یک می‌شود. ساعت‌ها هنوز شصت‌تایی‌های بابلی‌ها را به کار می‌برند و رایانه‌ها دوتادوتا می‌شمارند.