همیشه یکی بیشتر
هر کودکی دیر یا زود می‌پرسد: «بزرگ‌ترین عدد چیست؟» یکی می‌گوید «صد». دیگری می‌گوید «صد و یک!» بعد «یک میلیون!» و «یک میلیون و یک!» این بازی هیچ‌وقت تمام نمی‌شود. چرا؟
عددهای طبیعی
در درس «چرا می‌شماریم؟» دیدیم که شمردن یعنی جفت کردن چیزها با واژه‌های یک، دو، سه و بقیه، به ترتیبی ثابت. به این عددها عددهای طبیعی (natural numbers) می‌گویند. گاهی هم به آن‌ها عددهای شمارشی (counting numbers) می‌گویند:
۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ۱۰، ۱۱، ۱۲، ...
سه نقطه‌ی آخر یعنی «و همین‌طور ادامه دارد».
هر عدد طبیعی از عدد قبلی‌اش با اضافه کردن یکی بیشتر به دست می‌آید. سه یعنی دو و یکی بیشتر. ده یعنی نه و یکی بیشتر. برای ساختن همه‌ی عددهای طبیعی همین کافی است: از یک شروع کنید و مدام یکی اضافه کنید.
همیشه یکی بیشتر هست
برگردیم به پرسش اول. آیا بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود دارد؟
فرض کنید کسی می‌گوید آن را پیدا کرده است. اسم عددش را بگذاریم «بزرگ‌ترین». یکی به آن اضافه کنید. عدد تازه هم عددی طبیعی است و یکی بزرگ‌تر از «بزرگ‌ترین» است. پس «بزرگ‌ترین» در واقع بزرگ‌ترین نبود.
این استدلال برای هر عددی که کسی نام ببرد درست است، هر قدر هم بزرگ. پس بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد. عددهای طبیعی هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند.
بی‌پایان عدد نیست
گاهی می‌گویند عددهای طبیعی «تا بی‌نهایت (infinity) ادامه دارند». بی‌نهایت آخرین عدد طبیعی نیست که ته صف منتظر ایستاده باشد. بی‌نهایت یعنی پایانی وجود ندارد. هر قدر هم بشمارید، هرگز به آن نمی‌رسید.
حتی شمردن تا یک میلیون هم سخت است. اگر هر ثانیه یک عدد بگویید، شب و روز و بدون خواب، بیش از یازده روز طول می‌کشد. شمردن تا یک میلیارد بیش از سی سال طول می‌کشد. و یک میلیارد هم به پایان نزدیک نیست - چون پایانی در کار نیست.
فهرستی بی‌فاصله
عددهای طبیعی درست یکی‌یکی بالا می‌روند. میان ۳ و ۴ هیچ عدد طبیعی دیگری نیست. در درس‌های بعد با عددهایی آشنا می‌شویم که میان آن‌ها قرار می‌گیرند، مثل «سه و نیم». اما این‌ها عدد طبیعی نیستند: سه و نیم گوسفند را نمی‌شود شمرد.
در خانه امتحان کنید
۱. با کسی بازی «یکی بیشتر» کنید: هر کدام عددی بزرگ‌تر از عدد قبلی بگویید. آیا یکی از شما می‌تواند برنده شود؟ چرا نه؟ ۲. با یک زمان‌سنج، یک دقیقه بلند بشمارید. تا کجا رسیدید؟ حدوداً چند دقیقه طول می‌کشد تا هزار بشمارید؟
واژه‌های این درس
- عددهای طبیعی (natural numbers) - عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ... که با آن‌ها می‌شماریم
- بی‌نهایت (infinity) - ایده‌ی ادامه داشتن بدون پایان؛ عددی نیست که با شمردن به آن برسید
ایده‌ی اصلی
هر عدد طبیعی همان عدد قبلی‌اش است به‌اضافه‌ی یک. چون همیشه می‌شود یکی اضافه کرد، بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد: این عددها هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند.