عددهای مربعی
صفحه‌ی شطرنج ۸ ردیف خانه دارد و در هر ردیف ۸ خانه. کاشی‌های کف یک اتاق مربعی، جعبه‌ای شکلات با ۴ ردیف ۴تایی، پنجره‌های نمای یک برج: این شکل مدام تکرار می‌شود. چه عددهایی را می‌شود این‌طور، به شکل یک مربع کامل، چید؟
نقطه‌هایی که مربع می‌سازند
در درس «شمارنده‌ها: ساختن مستطیل» نقطه‌ها را به شکل مستطیل چیدیم. مربع مستطیل خاصی است: تعداد ردیف‌هایش با تعداد نقطه‌های هر ردیف برابر است.
- ۱ نقطه خودش یک مربع است: ۱ ردیف ۱تایی.
- ۴ نقطه ۲ ردیف ۲تایی می‌سازد: ۲ × ۲ = ۴.
- ۹ نقطه ۳ ردیف ۳تایی می‌سازد: ۳ × ۳ = ۹.
- ۱۶ نقطه ۴ ردیف ۴تایی می‌سازد: ۴ × ۴ = ۱۶.
- ۲۵ نقطه ۵ ردیف ۵تایی می‌سازد: ۵ × ۵ = ۲۵.
به عددی که از ضرب یک عدد طبیعی در خودش به دست می‌آید عدد مربعی (square number) می‌گویند. صفحه‌ی شطرنج ۸ × ۸ = ۶۴ خانه دارد، پس ۶۴ هم عدد مربعی است.
بیشتر عددها مربعی نیستند
۱۲ نقطه را امتحان کنید. می‌توانید ۳ ردیف ۴تایی بچینید، یا ۲ ردیف ۶تایی، یا ۱ ردیف ۱۲تایی. همه‌ی این‌ها مستطیل‌اند، اما هیچ‌کدام مربع نیست: تعداد ردیف‌ها هیچ‌وقت با تعداد نقطه‌های هر ردیف برابر نمی‌شود. پس ۱۲ عدد مربعی نیست.
از ۱ تا ۱۰۰ فقط ده عدد مربعی هست: ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵، ۳۶، ۴۹، ۶۴، ۸۱ و ۱۰۰. هرچه بزرگ‌تر می‌شوند، فاصله‌شان از هم بیشتر می‌شود.
مربعی که بزرگ می‌شود
ببینید یک مربع چطور به مربع بعدی تبدیل می‌شود. برای اینکه مربع ۳ در ۳ مربع ۴ در ۴ شود، یک ردیف تازه پایینش و یک ستون تازه کنارش می‌گذارید. این نوار تازه شکل یک گوشه دارد، مثل حرف L:
- ۳ نقطه در پایین، ۳ نقطه در کنار، و ۱ نقطه در گوشه: ۳ + ۳ + ۱ = ۷.
پس ۹ + ۷ = ۱۶. اگر در هر مرحله همین کار را بکنید، نوارهای گوشه‌ای ۱، ۳، ۵، ۷، ۹ و ... نقطه دارند. این‌ها همان عددهای فرد هستند، پشت سر هم:
- ۱ = ۱
- ۱ + ۳ = ۴
- ۱ + ۳ + ۵ = ۹
- ۱ + ۳ + ۵ + ۷ = ۱۶
- ۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ = ۲۵
اگر عددهای فرد را به ترتیب با هم جمع کنید، همیشه یک عدد مربعی به دست می‌آید. تصویر دلیلش را نشان می‌دهد، و نه فقط برای این پنج مربع: هر مربع با یک نوار گوشه‌ای دیگر به مربع بعدی تبدیل می‌شود، و هر نوار ۲ نقطه از نوار قبلی بیشتر دارد.
در خانه امتحان کنید
- ۳۶ دکمه یا سکه را به شکل مربع بچینید. چند ردیف دارد؟
- آیا با ۲۰ دکمه می‌شود مربع ساخت؟ امتحان کنید.
- ۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ + ۱۱ را حساب کنید. آیا جواب عدد مربعی است؟
جواب‌ها: ۱. ۶ ردیف ۶تایی. ۲. نه: ۴ ردیف ۴تایی ۱۶ دکمه است و ۵ ردیف ۵تایی ۲۵ دکمه. ۳. ۳۶ = ۶ × ۶، پس بله.
واژه‌های این درس
- عدد مربعی (square number) - تعدادی نقطه که می‌شود به شکل مربع چید؛ یک عدد طبیعی ضرب در خودش، مثل ۱۶ = ۴ × ۴
ایده‌ی اصلی
عددهای مربعی تعدادهایی هستند که یک مربع کامل از نقطه می‌سازند: ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵ و ... هر کدام یک عدد طبیعی ضرب در خودش است، و هر کدام همان قبلی است به‌اضافه‌ی عدد فرد بعدی.