بخش‌پذیری بر ۳ و ۹
سه دوست در یک مسابقه ۴۷۱ شکلات برده‌اند و می‌خواهند آن‌ها را برابر میان خودشان تقسیم کنند. آیا تقسیم عادلانه درمی‌آید و چیزی نمی‌ماند؟ رقم آخر ۱ است، اما در درس «بخش‌پذیری بر ۲، ۵ و ۱۰» دیدیم که رقم آخر فقط برای ۲، ۵ و ۱۰ کار می‌کند. برای ۳ به راه تازه‌ای نیاز داریم.
رقم‌ها را جمع کنید
قاعده این است: رقم‌های عدد را با هم جمع کنید. به حاصل آن مجموع رقم‌ها (digit sum) می‌گوییم.
- مجموع رقم‌های ۴۷۱ می‌شود ۴ + ۷ + ۱ = ۱۲.
- ۱۲ بر ۳ بخش‌پذیر است (۱۲ ÷ ۳ = ۴).
- پس ۴۷۱ هم بر ۳ بخش‌پذیر است. به هر کدام از سه دوست ۱۵۷ شکلات می‌رسد.
بخش‌پذیری بر ۳: عددی بر ۳ بخش‌پذیر است که مجموع رقم‌هایش بر ۳ بخش‌پذیر باشد. بخش‌پذیری بر ۹ هم همین‌طور است: عددی بر ۹ بخش‌پذیر است که مجموع رقم‌هایش بر ۹ بخش‌پذیر باشد. مثلاً مجموع رقم‌های ۳٬۴۵۶ می‌شود ۳ + ۴ + ۵ + ۶ = ۱۸. ۱۸ بر ۹ بخش‌پذیر است، پس ۳٬۴۵۶ هم بر ۹ بخش‌پذیر است.
اگر مجموع رقم‌ها هنوز بزرگ است، رقم‌های آن را دوباره جمع کنید: مجموع رقم‌های ۹۹٬۹۹۹ می‌شود ۴۵، و مجموع رقم‌های ۴۵ می‌شود ۹. پس ۹۹٬۹۹۹ بر ۹ بخش‌پذیر است.
چرا درست است: ده یعنی نُه به‌اضافه‌ی یک
این قاعده شبیه شعبده است، اما دلیل دارد. یک ده‌تایی بردارید و ۹ نقطه‌اش را کنار بگذارید. ۹ را می‌شود سه‌تاسه‌تا کرد (سه تا سه‌تایی) و نُه‌تانُه‌تا هم. یک نقطه می‌ماند. پس هر ده‌تایی یک نُه‌تایی است، و یکی اضافه.
حالا ۴۲ را در نظر بگیرید: ۴ ده‌تایی و ۲ یکی.
- هر کدام از ۴ ده‌تایی، بعد از کنار گذاشتن نُه‌تایی‌اش، ۱ اضافه دارد. می‌شود ۴ اضافه.
- ۲ یکی هم اضافه‌اند.
- پس روی هم ۴ + ۲ = ۶ تا اضافه می‌ماند: یعنی همان مجموع رقم‌ها!
نُه‌تایی‌ها دردسری ندارند، چون همیشه به سه‌تایی و نُه‌تایی تقسیم می‌شوند. فقط اضافه‌ها تصمیم می‌گیرند، و اضافه‌ها همان مجموع رقم‌ها هستند. ۶ بر ۳ بخش‌پذیر است، پس ۴۲ هم بر ۳ بخش‌پذیر است (۴۲ ÷ ۳ = ۱۴). ۶ بر ۹ بخش‌پذیر نیست، پس ۴۲ هم بر ۹ بخش‌پذیر نیست؛ باقی‌مانده‌اش درست ۶ است (۴ تا نُه‌تایی ۳۶ می‌شود، و ۳۶ + ۶ = ۴۲).
صدتایی‌ها هم همین‌طورند: ۱۰۰ یعنی ۹۹ + ۱، و ۹۹ یازده تا نُه‌تایی است. پس هر صدتایی هم درست ۱ اضافه دارد، و هر رقم اضافه‌های خودش را می‌شمارد.
قاعده‌ای که جواب نمی‌دهد
قاعده‌ها را با هم قاطی نکنید. برای ۳ و ۹ رقم آخر هیچ چیزی نمی‌گوید: رقم آخر ۱۳ عدد ۳ است اما ۱۳ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، و رقم آخر ۱۲ عدد ۲ است اما ۱۲ بر ۳ بخش‌پذیر است. برای ۲، ۵ و ۱۰ هم مجموع رقم‌ها هیچ چیزی نمی‌گوید: مجموع رقم‌های ۱۴ و ۴۱ یکی است، اما فقط ۱۴ زوج است. هر قاعده فقط به خاطر دلیل خودش درست است.
در خانه امتحان کنید
- عددی را از روی یک رسید یا پلاک ماشین بردارید و مجموع رقم‌هایش را پیدا کنید. آیا عدد بر ۳ بخش‌پذیر است؟ بر ۹ چطور؟
- بر ۳، بر ۹، یا هیچ‌کدام: ۱۱۱؛ ۲٬۰۲۵؛ ۱٬۰۰۰؟
- عددی بر ۹ بخش‌پذیر است. آیا حتماً بر ۳ هم بخش‌پذیر است؟ جواب‌ها پایین آمده است.
جواب‌ها: ۱۱۱ فقط بر ۳ (مجموع رقم‌ها ۳)؛ ۲٬۰۲۵ بر هر دو (مجموع رقم‌ها ۹)؛ ۱٬۰۰۰ بر هیچ‌کدام (مجموع رقم‌ها ۱). بله: هر نُه‌تایی سه تا سه‌تایی است، پس هرچه نُه‌تانُه‌تا شود، سه‌تاسه‌تا هم می‌شود.
واژه‌های این درس
- مجموع رقم‌ها (digit sum) - حاصلِ جمع رقم‌های یک عدد: مجموع رقم‌های ۴۷۱ می‌شود ۴ + ۷ + ۱ = ۱۲
- بخش‌پذیری بر ۳ (یا ۹) - عددی بر ۳ (یا ۹) بخش‌پذیر است که مجموع رقم‌هایش بر ۳ (یا ۹) بخش‌پذیر باشد
ایده‌ی اصلی
هر ده‌تایی یک نُه‌تایی است به‌اضافه‌ی یک، و هر صدتایی ۹۹ است به‌اضافه‌ی یک. نُه‌تایی‌ها همیشه به سه‌تایی و نُه‌تایی تقسیم می‌شوند، پس فقط اضافه‌ها تصمیم می‌گیرند - یکی برای هر ده‌تایی، یکی برای هر صدتایی، به‌اضافه‌ی یکان‌ها - و اضافه‌ها روی هم همان مجموع رقم‌ها می‌شوند.