فقط یک راه برای ساختن

سارا، آرش و مینا هر کدام نمودار درختی ۶۰ را می‌کشند. سارا با ⁦۶ × ۱۰⁩ شروع می‌کند، آرش با ⁦۴ × ۱۵⁩ و مینا با ⁦۲ × ۳۰⁩. درخت‌هایشان شبیه هم نیست. آیا سر شاخه‌هایشان هم عددهای اول متفاوتی خواهد بود؟

سه درخت، همان عددهای اول

هر سه درخت را کامل کنیم:

• سارا: ⁦۶ × ۱۰⁩، بعد ⁦۶ = ۲ × ۳⁩ و ⁦۱۰ = ۲ × ۵⁩. عددهای اول: ۲، ۳، ۲، ۵.
• آرش: ⁦۴ × ۱۵⁩، بعد ⁦۴ = ۲ × ۲⁩ و ⁦۱۵ = ۳ × ۵⁩. عددهای اول: ۲، ۲، ۳، ۵.
• مینا: ⁦۲ × ۳۰⁩، بعد ⁦۳۰ = ۵ × ۶⁩ و بعد ⁦۶ = ۲ × ۳⁩. عددهای اول: ۲، ۵، ۲، ۳.

عددهای هر نفر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید؛ هر سه یک چیز می‌گویند:

• ⁦۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵⁩.

همیشه همین‌طور است

این از روی شانس نیست. با هر جفت شمارنده‌ای که شروع کنید، سر شاخه‌های درختِ یک عدد همیشه همان عددهای اول است، شاید با ترتیبی دیگر. به زبان دیگر، هر عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط به یک راه از عددهای اول ساخته می‌شود. ریاضی‌دان‌ها به این واقعیت قضیه‌ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) می‌گویند. «اساسی» یعنی چیزهای زیادی بر پایه‌ی آن ساخته شده است.

اثبات اینکه این همیشه درست است از این دوره فراتر است. اقلیدس، ریاضی‌دان یونانی، حدود ۲٬۳۰۰ سال پیش گام اصلی آن را برداشته بود. نخستین اثبات کامل را ریاضی‌دان آلمانی، کارل فریدریش گاوس، در سال ۱۸۰۱ منتشر کرد.

دستور پخت هر عدد

چون شمارنده‌های اول یک عدد هیچ‌وقت عوض نمی‌شوند، مثل دستور پختی هستند که فقط مال همان عدد است. این دستور پخت بدون هیچ تقسیمی به پرسش‌ها جواب می‌دهد:

• آیا ۳ شمارنده‌ی ⁦۱۴۰ = ۲ × ۲ × ۵ × ۷⁩ است؟ در این دستور ۳ نیست، پس نه.
• آیا ۶ شمارنده‌ی ⁦۴۲ = ۲ × ۳ × ۷⁩ است؟ ⁦۶ = ۲ × ۳⁩ و هر دو در دستور هستند، پس بله: ⁦۴۲ = ۶ × ۷⁩.

چرا ۱ عدد اول نیست

حالا می‌فهمیم چرا ریاضی‌دان‌ها ۱ را از عددهای اول بیرون گذاشته‌اند. اگر ۱ اول بود، می‌شد هر چند بار که بخواهیم آن را به هر دستوری اضافه کنیم، بی‌آنکه چیزی عوض شود:

• ⁦۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵ = ۱ × ۲ × ۲ × ۳ × ۵ = ۱ × ۱ × ۲ × ۲ × ۳ × ۵ ...⁩

آن‌وقت هر عدد به بی‌شمار راه از «عددهای اول» ساخته می‌شد و قاعده‌ی «فقط یک راه» از هم می‌پاشید. بیرون گذاشتن ۱ این قاعده را درست نگه می‌دارد.

در خانه امتحان کنید

1. دو نمودار درختی متفاوت برای ۷۲ بکشید: یکی با ⁦۸ × ۹⁩ و یکی با ⁦۲ × ۳۶⁩. آیا به همان عددهای اول می‌رسند؟
2. ⁦۹۰ = ۲ × ۳ × ۳ × ۵⁩. بدون تقسیم کردن بگویید: آیا ۷ شمارنده‌ی ۹۰ است؟ ۱۵ چطور؟

جواب‌ها: ۱. بله، هر دو می‌رسند به ⁦۷۲ = ۲ × ۲ × ۲ × ۳ × ۳⁩؛ ۲. ۷ نیست (در دستور ۷ نیست)؛ ۱۵ هست، چون ⁦۱۵ = ۳ × ۵⁩ و هر دو در دستور هستند.

واژه‌های این درس

• قضیه‌ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) - این واقعیت که هر عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط به یک راه از ضرب عددهای اول ساخته می‌شود، اگر ترتیب را در نظر نگیریم

ایده‌ی اصلی

همه‌ی نمودارهای درختیِ یک عدد به همان عددهای اول می‌رسند. هر عدد بزرگ‌تر از ۱ فقط یک دستور پخت از عددهای اول دارد، و این دستور شمارنده‌هایش را نشان می‌دهد. بیرون ماندن ۱ از عددهای اول همین یکتایی را حفظ می‌کند.