نمودار درختی
همه‌چیز دور و بر ما، آب و هوا و حتی دست خودتان، از چند نوع ذره‌ی بسیار ریز به نام اتم ساخته شده است. عددهای طبیعی هم، وقتی آن‌ها را با ضرب می‌سازیم، اتم دارند: عددهای اول. هر عدد مرکب را می‌شود به حاصل‌ضرب چند عدد اول تجزیه کرد. اما از کجا بفهمیم یک عدد از کدام عددهای اول ساخته شده است؟
تجزیه کنید، و باز تجزیه کنید
عدد ۶۰ را در نظر بگیرید. مرکب است، پس به یک جفت شمارنده (factor pair) تجزیه می‌شود، یعنی دو شمارنده که حاصل‌ضربشان ۶۰ است. هر جفتی که بخواهید، مثلاً ۶ × ۱۰. ۶۰ را بالا بنویسید و از آن دو شاخه به ۶ و ۱۰ بکشید.
حالا سراغ هر شاخه بروید. ۶ مرکب است و به ۲ × ۳ تجزیه می‌شود. ۱۰ هم مرکب است و به ۲ × ۵ تجزیه می‌شود. شاخه‌های آن‌ها را هم بکشید.
حالا سر شاخه‌ها ۲، ۳، ۲ و ۵ است. همه عدد اول‌اند و دیگر تجزیه نمی‌شوند. دورشان دایره بکشید. به این شکل نمودار درختی (factor tree) می‌گویند، و عددهای دایره‌دارِ سر شاخه‌ها شمارنده‌های اولِ (prime factors) ۶۰ هستند:
- ۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵.
با ضرب کردن دوباره امتحانش کنید: ۲ × ۲ = ۴، ۴ × ۳ = ۱۲، ۱۲ × ۵ = ۶۰. هر نمودار درختی را می‌شود همین‌طور امتحان کرد.
کِی دست نگه داریم
قاعده‌ی رشد درخت ساده است:
- اگر عددی که سر شاخه است مرکب باشد، آن را به یک جفت شمارنده تجزیه کنید؛
- اگر اول باشد، دورش دایره بکشید و دست نگه دارید.
درخت وقتی تمام است که سر همه‌ی شاخه‌ها دایره باشد. این هم ۳۶: به ۴ × ۹ تجزیه می‌شود، بعد ۴ به ۲ × ۲ و ۹ به ۳ × ۳:
- ۳۶ = ۲ × ۲ × ۳ × ۳.
عدد اول کوتاه‌ترین درخت را دارد: ۱۳ تجزیه نمی‌شود، پس درختش فقط خود ۱۳ است با یک دایره دورش.
عددهای اول آجرهای ساختمان‌اند
هر عدد بزرگ‌تر از ۱ یا خودش اول است، یا می‌شود آن‌قدر تجزیه‌اش کرد که فقط عددهای اول بمانند. هر بار که تجزیه می‌کنیم، عددها کوچک‌تر می‌شوند، پس این کار نمی‌تواند تا ابد ادامه پیدا کند: همیشه به عددهای اول می‌رسد. منظورمان از «اتم‌های ضرب» همین بود.
اگر شمارنده‌های اول را از کوچک به بزرگ بنویسیم، خواندنشان آسان می‌شود: ۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵ با یک نگاه می‌گوید که ۶۰ از دو تا ۲، یک ۳ و یک ۵ ساخته شده است.
در خانه امتحان کنید
- نمودار درختی ۲۴ را بکشید. با ۴ × ۶ شروع کنید.
- نمودار درختی ۴۵ را بکشید.
- نمودار درختی ۱۰۰ را بکشید.
جواب‌ها: ۱. ۲۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۳؛ ۲. ۴۵ = ۳ × ۳ × ۵؛ ۳. ۱۰۰ = ۲ × ۲ × ۵ × ۵.
واژه‌های این درس
- جفت شمارنده (factor pair) - دو شمارنده که حاصل‌ضربشان یک عدد است، مثل ۶ و ۱۰ برای ۶۰
- نمودار درختی (factor tree) - شکلی که یک عدد را بارها و بارها به جفت شمارنده تجزیه می‌کند، تا سر هر شاخه یک عدد اول باشد
- شمارنده‌های اول (prime factors) - عددهای اولِ سر شاخه‌های نمودار درختی؛ یعنی عددهای اولی که حاصل‌ضربشان خود عدد است. به این کار تجزیه به عامل‌های اول هم می‌گویند.
ایده‌ی اصلی
یک عدد مرکب را به یک جفت شمارنده تجزیه کنید و آن‌قدر ادامه دهید تا فقط عددهای اول بمانند. هر عدد بزرگ‌تر از ۱ یا اول است یا حاصل‌ضرب چند عدد اول: ۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵.