عددهای مثلثی
در سالن بولینگ، ۱۰ پین به شکل مثلث ایستاده‌اند: ۱ پین جلو، بعد ۲، بعد ۳، بعد ۴. روی میز اسنوکر هم ۱۵ گوی قرمز را در مثلثی با ۵ ردیف کنار هم می‌گذارند. چرا ۱۰؟ چرا ۱۵؟ با چه تعدادهایی می‌شود چنین مثلثی ساخت؟
پله‌هایی از نقطه
با ۱ نقطه شروع کنید. زیرش یک ردیف ۲تایی بگذارید، بعد یک ردیف ۳تایی، بعد یک ردیف ۴تایی. هر ردیف یک نقطه از ردیف بالایی بیشتر دارد. جمع‌ها این‌ها هستند:
- ۱
- ۱ + ۲ = ۳
- ۱ + ۲ + ۳ = ۶
- ۱ + ۲ + ۳ + ۴ = ۱۰
- ۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ = ۱۵
به این عددها عددهای مثلثی (triangular numbers) می‌گویند: ۱، ۳، ۶، ۱۰، ۱۵، ۲۱، ۲۸ و ... برای پیدا کردن عدد بعدی، عدد شمارشی بعدی را اضافه کنید: ۱۵ + ۶ = ۲۱، بعد ۲۱ + ۷ = ۲۸.
دو مثلث، یک مستطیل
مثلث ۱۰ نقطه‌ای را در نظر بگیرید، با ردیف‌های ۱، ۲، ۳ و ۴. یک نسخه‌ی دیگر از آن بسازید، وارونه‌اش کنید و به مثلث اول بچسبانید. این دو با هم یک مستطیل می‌شوند: ۴ ردیف ۵تایی، یعنی ۴ × ۵ = ۲۰ نقطه. هر مثلث نصف آن است: ۲۰ ÷ ۲ = ۱۰.
این کار برای هر مثلثی درست است. مستطیل همیشه به اندازه‌ی مثلث ردیف دارد، و هر ردیفش یک نقطه بیشتر. از اینجا یک راه میان‌بر پیدا می‌شود. برای جمع ۱ و ۲ و ۳ و همین‌طور تا ۱۰، مثلثی با ۱۰ ردیف را تصور کنید. دو تا از این مثلث مستطیلی با ۱۰ × ۱۱ = ۱۱۰ نقطه می‌سازند، پس یک مثلث ۱۱۰ ÷ ۲ = ۵۵ نقطه دارد.
داستان معروفی می‌گوید کارل فریدریش گاوس، ریاضی‌دان آلمانی، در دهه‌ی ۱۷۸۰ که دانش‌آموز بود، از معلمش تکلیف گرفت که همه‌ی عددهای ۱ تا ۱۰۰ را با هم جمع کند. او در چند لحظه جواب را داشت: ۱۰۰ × ۱۰۱ = ۱۰٬۱۰۰، و نصفش ۵٬۰۵۰ است. کسی نمی‌داند این داستان واقعاً همین‌طور اتفاق افتاده یا نه، اما این میان‌بر درست است.
دو همسایه، یک مربع
حالا دو عدد مثلثی را که پشت سر هم‌اند با هم جمع کنید: ۶ + ۱۰ = ۱۶، یعنی ۴ × ۴، یک عدد مربعی. ۱۰ + ۱۵ = ۲۵ = ۵ × ۵ را هم امتحان کنید. باز هم مربع!
تصویر دلیلش را نشان می‌دهد. مربعی از نقطه‌ها را با یک خط کج، درست کنار قطرش (خطی که دو گوشه‌ی روبه‌رو را به هم وصل می‌کند)، ببرید. دو پله به دست می‌آید: یکی با ۴ ردیف و یکی با ۳ ردیف.
در خانه امتحان کنید
- مثلث ۲۱تایی را با سکه بسازید. چند ردیف دارد؟
- با همین میان‌بر، ۱ و ۲ و ۳ و همین‌طور تا ۲۰ را جمع کنید.
- ۲۱ + ۲۸ چند است؟ آیا عدد مربعی است؟
جواب‌ها: ۱. ۶ ردیف. ۲. ۲۰ × ۲۱ = ۴۲۰ و ۴۲۰ ÷ ۲ = ۲۱۰. ۳. ۴۹ = ۷ × ۷، پس بله.
واژه‌های این درس
- عدد مثلثی (triangular number) - تعدادی نقطه که می‌شود به شکل مثلثی با ردیف‌های ۱، ۲، ۳ و همین‌طور تا آخر چید: ۱، ۳، ۶، ۱۰، ۱۵ و ...
ایده‌ی اصلی
عددهای مثلثی ۱، ۱ + ۲، ۱ + ۲ + ۳ و همین‌طور تا آخرند. دو نسخه از یک مثلث یک مستطیل می‌سازند، پس جمع ۱ تا ۱۰۰ همان ۱۰۰ × ۱۰۱ ÷ ۲ است. دو عدد مثلثی پشت سر هم با هم یک مربع می‌سازند.