کی دوباره با هم می‌رسند؟
در ایستگاه اتوبوسی در نایروبی، دو اتوبوس ساعت ۸ با هم راه می‌افتند. اتوبوس آبی هر ۴ دقیقه یک بار حرکت می‌کند و اتوبوس سبز هر ۶ دقیقه یک بار. دفعه‌ی بعد کی با هم راه می‌افتند؟
دو فهرست از پرش‌ها
اتوبوس آبی ساعت ۸ حرکت می‌کند، بعد ۴ دقیقه بعد، بعد ۴ دقیقه‌ی دیگر... زمان‌های حرکتش بعد از ساعت ۸، مضرب‌های ۴ هستند (مضرب‌ها را پیش‌تر دیدیم):
- اتوبوس آبی: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، ۲۴ دقیقه بعد از ۸، ...
- اتوبوس سبز: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴ دقیقه بعد از ۸، ...
عددهای ۱۲، ۲۴ و ... در هر دو فهرست هستند. به آن‌ها مضرب‌های مشترک ۴ و ۶ می‌گویند. اولینِ آن‌ها، یعنی کوچک‌ترینشان، ۱۲ است. پس دو اتوبوس دفعه‌ی بعد ساعت ۸ و ۱۲ دقیقه با هم راه می‌افتند، و باز ساعت ۸ و ۲۴ دقیقه.
کوچک‌ترین مضرب مشترک
به کوچک‌ترین عددی که مضرب هر دو عدد است، کوچک‌ترین مضرب مشترک (least common multiple) آن‌ها می‌گویند و کوتاهش را ک.م.م می‌نویسند. ک.م.م ۴ و ۶ برابر ۱۲ است.
ک.م.م به پرسش «کی دوباره به هم می‌رسند؟» جواب می‌دهد، و همین‌طور به پرسش «چندتا بخرم که جور دربیاید؟» سوسیس‌ها در بسته‌های ۶تایی فروخته می‌شوند و نان‌های ساندویچی در بسته‌های ۸تایی. می‌خواهید در هر نان یک سوسیس بگذارید و از هیچ‌کدام چیزی اضافه نماند. کمترین تعدادی که می‌توانید بخرید چند است؟
- بسته‌های سوسیس: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰، ...
- بسته‌های نان: ۸، ۱۶، ۲۴، ۳۲، ...
ک.م.م ۶ و ۸ برابر ۲۴ است: ۴ بسته سوسیس (۴ × ۶ = ۲۴) و ۳ بسته نان (۳ × ۸ = ۲۴) بخرید.
راهی سریع‌تر
لازم نیست دو فهرست بلند بنویسید. مضرب‌های عدد بزرگ‌تر را یکی‌یکی بنویسید و سر اولین مضربی که عدد کوچک‌تر آن را بی‌باقی‌مانده می‌شمارد، بایستید:
- برای ۶ و ۸: ۸؟ ۶ آن را نمی‌شمارد. ۱۶؟ نه. ۲۴؟ بله: ۲۴ ÷ ۶ = ۴. پس جواب ۲۴ است.
حاصل‌ضرب دو عدد همیشه یک مضرب مشترک آن‌هاست: ۶ × ۸ = ۴۸. اما همیشه کوچک‌ترینِ آن‌ها نیست. فقط وقتی کوچک‌ترین است که دو عدد جز ۱ شمارنده‌ی مشترکی نداشته باشند، مثل ۳ و ۵: ک.م.م آن‌ها ۳ × ۵ = ۱۵ است. وقتی دو عدد شمارنده‌ی مشترکی دارند، مثل ۶ و ۸ که هر دو بر ۲ بخش‌پذیرند، زودتر به هم می‌رسند.
در خانه امتحان کنید
- تا ۱۲ بشمارید؛ در هر ۲ شماره یک بار دست بزنید و در هر ۳ شماره یک بار پا بکوبید. سر کدام شماره‌ها دست و پا با هم هستند؟
- ک.م.م ۳ و ۴ چند است؟ ک.م.م ۴ و ۱۰ چطور؟
- چراغی هر ۵ ثانیه یک بار چشمک می‌زند و چراغ دیگری هر ۲ ثانیه. اگر الان با هم چشمک بزنند، دفعه‌ی بعد کی با هم چشمک می‌زنند؟
جواب‌ها: ۱. ۶ و ۱۲. ۲. ۱۲؛ ۲۰. ۳. ۱۰ ثانیه بعد.
واژه‌های این درس
- مضرب مشترک - عددی که مضرب هر دو عدد است، مثل ۲۴ برای ۴ و ۶
- کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) - کوچک‌ترینِ مضرب‌های مشترک دو عدد
ایده‌ی اصلی
چیزهایی که هر ۴ و هر ۶ تکرار می‌شوند، در مضرب‌های مشترک ۴ و ۶ به هم می‌رسند. اولین دیدار ک.م.م است، یعنی ۱۲. ک.م.م فقط وقتی حاصل‌ضرب دو عدد است که آن دو جز ۱ شمارنده‌ی مشترکی نداشته باشند.