حساب ساعتی
ساعت ۹ صبح است. سفر با اتوبوس ۵ ساعت طول می‌کشد. وقتی برسید، ساعت چند را نشان می‌دهد؟ ساعت ۱۴ نه - روی صفحه‌ی یک ساعت معمولی عددها فقط تا ۱۲ می‌روند. ساعت ۲ را نشان می‌دهد. پس روی ساعت ۹ + ۵ = ۲. این اشتباه است، یا نوع دیگری از جمع؟
دور زدن
روی محور اعداد، جمع کردن با ۵ یعنی ۵ قدم به راست، و محور تا بی‌نهایت ادامه دارد. ساعت مثل محوری است که آن را خم کرده و به شکل دایره درآورده‌اند. بعد از ۱۲ دوباره به ۱ برمی‌گردد و شمردن دور تازه‌ای را شروع می‌کند.
از ۹، پنج قدم می‌رود به ۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱ و ۲. به جمع کردن روی چنین دایره‌ای حساب ساعتی (clock arithmetic) می‌گویند. ریاضی‌دان‌ها به آن حساب پیمانه‌ای (modular arithmetic) می‌گویند.
دورهای کامل به حساب نمی‌آیند
۲۵ ساعت بعد از ساعت ۹، ساعت چند است؟ لازم نیست ۲۵ قدم بروید. ۲۴ ساعت یعنی دو دور کامل عقربه، و هر دور کامل عقربه را درست به جای اولش برمی‌گرداند. پس فقط ۱ ساعتِ اضافه مهم است: ساعت ۱۰ را نشان می‌دهد.
این همان باقی‌مانده است که در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم: ۲۵ ÷ ۱۲ = ۲، باقی‌مانده
- دورهای کامل کنار گذاشته می‌شوند و فقط باقی‌مانده به حساب می‌آید.
روزهای هفته
هفته هم یک دایره است: شنبه، یکشنبه، ... جمعه، و باز شنبه. هفته ۷ روز دارد، پس این‌جا هر دور یک هفته‌ی ۷روزه است.
امروز دوشنبه است. ۱۰ روز دیگر چه روزی است؟ ۱۰ روز یعنی یک هفته‌ی کامل و ۳ روز بیشتر (۱۰ ÷ ۷ = ۱، باقی‌مانده ۳). هفته‌ی کامل شما را به دوشنبه برمی‌گرداند، و ۳ روز بیشتر می‌رسد به پنجشنبه.
حالا یک پرسش بزرگ: ۱۰۰ روز بعد از یک دوشنبه چه روزی است؟ ۱۴ هفته ۹۸ روز است (۱۴ × ۷ = ۹۸)، و ۱۰۰ دو روز از ۹۸ بیشتر است. ۱۴ هفته‌ی کامل چیزی را عوض نمی‌کند، پس ۱۰۰ روز بعد از دوشنبه همان ۲ روز بعد از دوشنبه است: چهارشنبه.
دایره‌ها همه‌جا هستند
زوج و فرد هم حساب ساعتی است، روی کوچک‌ترین دایره‌ی ممکن: ساعتی که فقط دو جا دارد، «زوج» و «فرد». هر قدم شما را از یکی به دیگری می‌برد، و دو قدم به جای اول برمی‌گرداند. چراغی که به ترتیب قرمز، سبز، آبی، قرمز، سبز، آبی چشمک می‌زند یک دایره‌ی ۳تایی است. صندلی‌های دور یک میز گرد ۸نفره، ماه‌های سال (یک دایره‌ی ۱۲تایی): هر جا چیزی دوباره از نو تکرار شود، فقط باقی‌مانده مهم است.
در خانه امتحان کنید
- ساعت ۸ است. ۷ ساعت دیگر ساعت چند است؟ ۳۰ ساعت دیگر چطور؟
- ۵۰ روز بعد از امروز چه روزی از هفته است؟
- امسال تولد شما سه‌شنبه است. یک سال ۳۶۵ روز دارد. سال بعد تولدتان چه روزی است؟ (اگر سال کبیسه در کار نباشد.) جواب‌ها پایین آمده است.
جواب‌ها: ساعت ۳؛ ساعت ۲ (۲۴ ساعت دو دور کامل است، و بعد ۶ ساعت دیگر). ۵۰ روز یعنی ۷ هفته و ۱ روز: همان روزی از هفته که فرداست. ۳۶۵ یعنی ۵۲ هفته و ۱ روز، پس چهارشنبه - روز تولد شما هر سال یک روز جلو می‌رود.
واژه‌های این درس
- حساب ساعتی (clock arithmetic) یا حساب پیمانه‌ای (modular arithmetic) - شمردنی که دور یک دایره می‌چرخد، مثل ساعت‌ها روی صفحه‌ی ساعت یا روزهای هفته؛ فقط باقی‌مانده‌ی بعد از دورهای کامل مهم است
ایده‌ی اصلی
روی دایره‌ای از عددها، مثل ساعت یا هفته، هر دور کامل شما را به جای اول برمی‌گرداند. پس برای جمع کردن روی دایره، بر اندازه‌ی دایره تقسیم کنید و فقط باقی‌مانده را نگه دارید: ۱۰۰ روز بعد از دوشنبه، چهارشنبه است.