ضرب، بارها و بارها

یک برگ کاغذ بردارید و از وسط تا کنید. حالا ۲ لایه شده است. دوباره تا کنید: ۴ لایه. باز هم: ۸ لایه. پس از چند تا، کاغذ آن‌قدر کلفت می‌شود که دیگر تا نمی‌شود. تعداد لایه‌ها با چه سرعتی بیشتر می‌شود، و آیا راه کوتاهی برای نوشتنش هست؟

دو برابر، دوباره و دوباره

هر تا لایه‌ها را دو برابر می‌کند، و دو برابر کردن یعنی ضرب در ۲:

• ۱ تا: ۲ لایه.
• ۲ تا: ⁦۲ × ۲ = ۴⁩ لایه.
• ۳ تا: ⁦۲ × ۲ × ۲ = ۸⁩ لایه.
• ۴ تا: ⁦۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶⁩ لایه.
• ۵ تا: ۳۲ لایه. ۶ تا: ۶۴ لایه. ۷ تا: ۱۲۸ لایه.

یک برگ کاغذ معمولی را به‌سختی می‌شود بیشتر از حدود ۷ بار تا کرد. تا آن موقع ۱۲۸ لایه شده است، و با هر تا کوچک‌تر هم می‌شود. دو برابر شدن خیلی سریع پیش می‌رود.

راهی کوتاه برای نوشتن

نوشتن ⁦۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲⁩ وقت می‌گیرد، و شمردن ۲ها هم آسان نیست. برای همین عدد را فقط یک بار می‌نویسیم و کنارش، کمی بالاتر، عدد کوچکی می‌گذاریم که می‌گوید چند نسخه از آن را در هم ضرب کنیم (مثل تصویر پایین‌تر). این را توان (power) می‌گویند:

• ⁦۲ × ۲ × ۲⁩ را «۲ به توان ۳» می‌خوانیم.
• ⁦۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲⁩ یعنی «۲ به توان ۷»، که ۱۲۸ است.

عدد کوچک نسخه‌ها را می‌شمارد. عددی نیست که در آن ضرب کنیم: «۲ به توان ۳» یعنی ⁦۲ × ۲ × ۲ = ۸⁩، نه ⁦۲ × ۳ = ۶⁩.

دو توان نام خودشان را دارند، و نامشان را از شکل‌ها گرفته‌اند:

• «۵ به توان ۲»، یعنی ⁦۵ × ۵ = ۲۵⁩، را توان دوم یا مربعِ ۵ می‌گویند، چون ۵ ردیف ۵تایی از نقطه یک مربع می‌سازد. هر کدام از عددهای مربعی توان دوم یک عدد است.
• «۳ به توان ۳»، یعنی ⁦۳ × ۳ × ۳ = ۲۷⁩، را توان سوم یا مکعبِ ۳ می‌گویند، چون ۲۷ قطعه‌ی کوچک، ۳تا در طول، ۳تا در عرض و ۳تا در ارتفاع، یک مکعب می‌سازند.

توان‌های ده

۱۰ را در خودش ضرب کنید تا چیز جالبی ببینید:

• «۱۰ به توان ۲»: ⁦۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰⁩.
• «۱۰ به توان ۳»: ⁦۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱٬۰۰۰⁩.
• «۱۰ به توان ۶»: ۱٬۰۰۰٬۰۰۰، یعنی یک میلیون.

توان می‌گوید پشت ۱ چند صفر می‌آید. این تصادفی نیست. در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم که ضرب در ده هر رقم را یک جا به چپ می‌برد. هر ۱۰ در توان، ۱ را یک جای دیگر جلو می‌برد. پس جایگاه‌های عددهای ما - دهگان، صدگان، هزارگان و بعدی‌ها - همان توان‌های ده‌اند.

در خانه امتحان کنید

1. یک برگ کاغذ را تا جایی که می‌توانید از وسط تا کنید. به چند لایه رسیدید؟
2. «۳ به توان ۴» را حساب کنید.
3. ۱۰۰٬۰۰۰ را به شکل توانی از ده بنویسید.

جواب‌ها: ۲. ⁦۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۸۱⁩. ۳. «۱۰ به توان ۵»، چون ۵ صفر دارد.

واژه‌های این درس

• توان (power) - ضرب یک عدد در خودش، بارها و بارها، که با یک عدد کوچکِ بالا نوشته می‌شود و تعداد نسخه‌ها را می‌شمارد: «۲ به توان ۳» یعنی ⁦۲ × ۲ × ۲⁩
• توان دوم یا مربع (squared) - به توان ۲: ⁦۵ × ۵⁩
• توان سوم یا مکعب (cubed) - به توان ۳: ⁦۳ × ۳ × ۳⁩

ایده‌ی اصلی

توان راه کوتاهی برای نوشتن ضرب یک عدد در خودش است، بارها و بارها: «۲ به توان ۴» یعنی ⁦۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶⁩. توان‌ها خیلی سریع بزرگ می‌شوند، و توان‌های ده همان جایگاه‌های عددهای ما هستند.