بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک
لیلا برای جشن تولد برادر کوچکش کیسه‌های هدیه آماده می‌کند. او ۱۲ بیسکویت و ۱۸ آب‌نبات دارد. همه‌ی کیسه‌ها باید مثل هم باشند: در هر کیسه همان تعداد بیسکویت و همان تعداد آب‌نبات، و هیچ‌چیز هم اضافه نماند. لیلا می‌خواهد تا جایی که می‌شود کیسه‌ی بیشتری درست کند. چند کیسه می‌تواند بسازد؟
تعداد کیسه‌ها باید هر دو عدد را بشمارد
فرض کنید لیلا ۴ کیسه درست کند. ۱۲ بیسکویت درست تقسیم می‌شود: در هر کیسه ۳ تا. اما ۱۸ آب‌نبات در ۴ کیسه جا نمی‌افتد: ۱۸ ÷ ۴ می‌شود ۴ و ۲ تا باقی می‌ماند. پس ۴ کیسه نمی‌شود.
تعداد کیسه‌ها باید ۱۲ را بی‌باقی‌مانده بشمارد، یعنی یکی از شمارنده‌های ۱۲ باشد (شمارنده‌ها را پیش‌تر دیدیم). باید ۱۸ را هم بی‌باقی‌مانده بشمارد، پس شمارنده‌ی ۱۸ هم هست. هر دو فهرست را بنویسیم:
- شمارنده‌های ۱۲: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲؛
- شمارنده‌های ۱۸: ۱، ۲، ۳، ۶، ۹ و ۱۸.
عددهای ۱، ۲، ۳ و ۶ در هر دو فهرست هستند. به آن‌ها شمارنده‌های مشترک ۱۲ و ۱۸ می‌گویند؛ «مشترک» یعنی میان هر دو. پس لیلا می‌تواند ۱، ۲، ۳ یا ۶ کیسه درست کند، و بزرگ‌ترینشان ۶ است.
پس لیلا ۶ کیسه می‌سازد و در هر کدام ۲ بیسکویت (۱۲ ÷ ۶ = ۲) و ۳ آب‌نبات (۱۸ ÷ ۶ = ۳) می‌گذارد.
بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک
به بزرگ‌ترین عددی که دو عدد را بی‌باقی‌مانده می‌شمارد، بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک (greatest common factor) آن دو عدد می‌گویند و کوتاهش را ب.م.م می‌نویسند. ب.م.م ۱۲ و ۱۸ برابر ۶ است.
ب.م.م فقط به کار کیسه‌های جشن نمی‌آید. مسیری در باغ ۱۸ خانه درازا و ۱۲ خانه پهنا دارد (هر خانه یک مربع کوچک است). می‌خواهیم آن را با کاشی‌های مربعی بپوشانیم: همه هم‌اندازه، تا جایی که می‌شود بزرگ، و هیچ کاشی‌ای هم بریده نشود. ضلع کاشی باید هم در ۱۸ درست جا بیفتد و هم در ۱۲، پس باز هم یک شمارنده‌ی مشترک است. بزرگ‌ترین کاشی ۶ خانه در ۶ خانه است و ۶ تا از آن مسیر را می‌پوشاند.
راه میان‌بر با شمارنده‌های اول
برای عددهای کوچک، نوشتن فهرست کافی است. برای عددهای بزرگ‌تر، از شمارنده‌های اول کمک بگیرید (تجزیه به عامل‌های اول را پیش‌تر دیدیم):
- ۱۲ = ۲ × ۲ × ۳؛
- ۱۸ = ۲ × ۳ × ۳.
در هر دو یک ۲ و یک ۳ هست. همین‌های مشترک را در هم ضرب کنید: ۲ × ۳ = ۶. این همان ب.م.م است.
گاهی دو عدد جز ۱ هیچ شمارنده‌ی مشترکی ندارند. شمارنده‌های ۸ عبارت‌اند از ۱، ۲، ۴ و ۸، و شمارنده‌های ۱۵ از ۱، ۳، ۵ و ۱۵. ب.م.م آن‌ها ۱ است: با ۸ بیسکویت و ۱۵ آب‌نبات، تنها راه منصفانه یک کیسه‌ی بزرگ است.
در خانه امتحان کنید
- ۸ دکمه و ۱۲ سکه بردارید. تا جایی که می‌توانید دسته‌های یکسان درست کنید، طوری که در هر دسته همان تعداد دکمه و همان تعداد سکه باشد.
- ب.م.م ۱۰ و ۱۵ چند است؟ ب.م.م ۹ و ۱۶ چطور؟
جواب‌ها: ۱. ۴ دسته، هر کدام با ۲ دکمه و ۳ سکه. ۲. ۵؛ ۱.
واژه‌های این درس
- شمارنده‌ی مشترک - عددی که شمارنده‌ی هر دو عدد است، مثل ۳ برای ۱۲ و ۱۸
- بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک (ب.م.م) - بزرگ‌ترینِ شمارنده‌های مشترک دو عدد
ایده‌ی اصلی
عددی که دو عدد را بی‌باقی‌مانده می‌شمارد، شمارنده‌ی مشترک آن‌هاست. بزرگ‌ترینِ آن‌ها، یعنی ب.م.م، به این پرسش جواب می‌دهد: «حداکثر چند گروه یکسان؟» ب.م.م ۱۲ و ۱۸ برابر ۶ است، و شمارنده‌های اولِ مشترکشان، ۲ × ۳، آن را یک‌راست می‌دهند.