پرسش‌هایی که هنوز کسی جوابشان را نمی‌داند
ریاضی‌دان‌ها الگویی را می‌بینند، امتحانش می‌کنند و بعد می‌کوشند ثابتش کنند. گاهی اثبات هرگز از راه نمی‌رسد. بعضی پرسش‌ها درباره‌ی عددهای طبیعی را به‌آسانی می‌شود گفت و یک کودک ده‌ساله هم می‌تواند امتحانشان کند، اما بهترین ریاضی‌دان‌های دنیا صدها سال است که از جواب دادن به آن‌ها مانده‌اند. این درس آخر شما را به مرز دانسته‌های ما می‌برد.
دو عدد اول برای هر عدد زوج
در سال ۱۷۴۲ ریاضی‌دانی آلمانی به نام کریستیان گلدباخ نامه‌ای به دوستش لئونارد اویلر نوشت، که یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دان‌های تاریخ است. گلدباخ چیزی درباره‌ی عددهای اول دیده بود. به شکلی که امروز می‌گوییم:
- هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ را می‌شود به شکل جمع دو عدد اول نوشت.
چند تای نخست را امتحان کنید:
- ۴ = ۲ + ۲، ۶ = ۳ + ۳، ۸ = ۳ + ۵، ۱۰ = ۳ + ۷
- ۱۲ = ۵ + ۷، ۱۴ = ۷ + ۷، ۱۶ = ۳ + ۱۳، ۱۸ = ۵ + ۱۳، ۲۰ = ۷ + ۱۳
همین‌طور درست درمی‌آید. رایانه‌ها همه‌ی عددهای زوج را تا ۴٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ (چهار میلیارد میلیارد) امتحان کرده‌اند و هر کدام جمع دو عدد اول است. اویلر در جواب نوشت که مطمئن است این درست است، اما نتوانست ثابتش کند. از آن زمان تا امروز هم کسی نتوانسته است.
همان‌طور که درس «امتحان کردن اثبات نیست» نشان داد، این همه امتحان کردن اثبات نیست: ممکن است جلوتر مثال نقضی باشد. بیشتر ریاضی‌دان‌ها فکر می‌کنند نیست. اما فکر کردن، دانستن نیست.
به گزاره‌ای که ریاضی‌دان‌ها درستش می‌دانند و امتحانش کرده‌اند، اما نمی‌توانند ثابتش کنند، حدس (conjecture) می‌گویند. این یکی حدس گلدباخ است.
عددهای اول دوقلو
از دو عدد پشت سر هم، یکی همیشه زوج است، و تنها عدد اولِ زوج ۲ است. پس دو عدد اول هیچ‌وقت پشت سر هم نیستند، جز ۲ و ۳. نزدیک‌ترین حالت این است که فقط یک عدد میانشان باشد، مثل ۱۱ و ۱۳. به چنین جفتی عددهای اول دوقلو (twin primes) می‌گویند:
- ۳ و ۵، ۵ و ۷، ۱۱ و ۱۳، ۱۷ و ۱۹، ۲۹ و ۳۱، ۴۱ و ۴۳، ...
هر چه عددها بزرگ‌تر می‌شوند، عددهای اول دوقلو کمیاب‌تر می‌شوند، اما باز هم پیدا می‌شوند. آیا مثل خود عددهای اول در درس «عددهای اول تمام نمی‌شوند» تا بی‌نهایت ادامه دارند؟ این حدس عددهای اول دوقلو است و هیچ‌کس جوابش را نمی‌داند. در سال ۲۰۱۳ ریاضی‌دانی به نام ییتانگ ژانگ چیزی نزدیک به آن را ثابت کرد، و کار دیگران پس از او جواب را نزدیک‌تر هم آورده است. اما خود پرسش هنوز باز است.
بعضی حدس‌ها ثابت می‌شوند
حدس‌ها ناامیدکننده نیستند. حدود سال ۱۶۳۷، پیر دو فرما، حقوق‌دان و ریاضی‌دان فرانسوی، حدسی درباره‌ی عددهای طبیعی در حاشیه‌ی یک کتاب نوشت. اندرو وایلز در سال ۱۹۹۴، بیش از ۳۵۰ سال بعد، آن را ثابت کرد. حالا که ثابت شده، دیگر هرگز نمی‌شکند.
شاید یکی از این حدس‌ها در زمان زندگی شما ثابت شود. شاید هم به دست کسی که نخستین بار در درسی مثل همین با آن آشنا شده است.
در خانه امتحان کنید
- ۲۲، ۲۴ و ۳۰ را به شکل جمع دو عدد اول بنویسید. برای ۳۰ بیش از یک راه پیدا می‌کنید؟
- عددهای اول دوقلوی میان ۵۰ و ۷۵ را پیدا کنید.
جواب‌ها: ۱. ۲۲ = ۳ + ۱۹، ۲۴ = ۵ + ۱۹، ۳۰ = ۷ + ۲۳ (و همچنین ۱۱ + ۱۹ و ۱۳ + ۱۷). ۲. ۵۹ و ۶۱، ۷۱ و ۷۳.
واژه‌های این درس
- حدس (conjecture) - گزاره‌ای که درستش می‌دانند و روی مثال‌های بسیاری امتحانش کرده‌اند، اما هنوز ثابت نشده است
- عددهای اول دوقلو (twin primes) - دو عدد اول که فقط یک عدد میانشان است، مثل ۱۱ و ۱۳
ایده‌ی اصلی
حدس گزاره‌ای است که روی مثال‌های بسیاری امتحان شده اما ثابت نشده است. حدس گلدباخ (هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ جمع دو عدد اول است) و حدس عددهای اول دوقلو را به‌آسانی می‌شود گفت، و هنوز هیچ‌کس آن‌ها را ثابت نکرده است.