امتحان کردن اثبات نیست

دایره‌ای بکشید و دو نقطه روی آن بگذارید. این دو نقطه را با یک خط راست به هم وصل کنید: دایره ۲ تکه می‌شود. با ۳ نقطه، که همه به هم وصل شده‌اند، ۴ تکه به دست می‌آید. با ۴ نقطه ۸ تکه، و با ۵ نقطه ۱۶ تکه. تعداد تکه‌ها هر بار دو برابر می‌شود: ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶. پس ۶ نقطه باید ۳۲ تکه بسازد. واقعاً باید؟

الگویی که می‌شکند

بکشید و بشمارید. ۶ نقطه روی دایره بگذارید، نه با فاصله‌های برابر، طوری که هیچ سه خطی درون دایره از یک نقطه نگذرند. هر نقطه را به همه‌ی نقطه‌های دیگر وصل کنید و تکه‌ها را بشمارید. ۳۱ تکه به دست می‌آید، نه ۳۲.

الگو پنج بار درست بود و بعد شکست. در پنج دایره‌ی اول کسی اشتباه نکرده بود. دو برابر شدن از اول قاعده‌ی واقعی نبود؛ فقط برای عددهای کوچک این‌طور به نظر می‌رسید.

برای همین ریاضی‌دان‌ها به امتحان کردن بسنده نمی‌کنند. برای این‌که نشان دهیم ادعایی با «همیشه» نادرست است، یک مورد که آن را بشکند کافی است. به چنین موردی مثال نقض (counterexample) می‌گویند. (در دوره‌ی «منطق، سطح ۱» درسی درباره‌ی آن هست: «می‌توانید نادرستش را تصور کنید؟».) شش نقطه روی دایره مثال نقضی است برای ادعای «تعداد تکه‌ها همیشه دو برابر می‌شود».

چرا امتحان کردن هیچ‌وقت کافی نیست

فرض کنید صد جفت عدد فرد را با هم جمع کرده‌اید: ⁦۳ + ۵ = ۸⁩، ⁦۷ + ۹ = ۱۶⁩، ⁦۲۱ + ۱۳ = ۳۴⁩ و همین‌طور تا آخر. جواب همه زوج شده است. آیا نشان داده‌اید که این کار برای همه‌ی عددهای فرد درست است؟

نه. عددهای فرد هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند. هر قدر هم امتحان کنید، همیشه عددهایی می‌مانند که امتحانشان نکرده‌اید. و دایره‌ها نشان دادند که یک الگو ممکن است دیر بشکند.

اثبات همه‌ی عددها را یک‌جا در بر می‌گیرد

در درس «باز هم زوج و فرد» کاری بهتر از امتحان کردن کردیم. هر عدد فردی را به شکل چند جفت نقطه کشیدیم که یک نقطه از آن اضافه می‌ماند. نگفتیم چند جفت؛ این تصویر برای ۳، برای ۲۱ و برای یک میلیون و یک هم درست است.

حالا دو عدد فرد را کنار هم بگذارید. هر کدام یک نقطه‌ی تنها دارد. این دو نقطه‌ی تنها با هم یک جفت تازه می‌سازند. پس همه‌ی نقطه‌ها جفت دارند و حاصل‌جمع زوج است.

این یک اثبات (proof) است: استدلالی که نشان می‌دهد چرا چیزی درست است، پس در همه‌ی حالت‌ها درست است، حتی در حالت‌هایی که هیچ‌کس هرگز امتحانشان نخواهد کرد. اثبات با بزرگ شدن عددها ضعیف نمی‌شود. وقتی گزاره‌ای ثابت شد، دیگر هیچ مثال نقضی برایش پیدا نخواهد شد.

در خانه امتحان کنید

1. دایره‌ها را با ۱ تا ۵ نقطه خودتان بکشید و تکه‌ها را بشمارید. بعد ۶ نقطه را امتحان کنید (دقت لازم دارد: دایره‌ی بزرگی بکشید و از خط‌کش کمک بگیرید).
2. کسی می‌گوید: «به هر عددی ۱ اضافه کنید، عددی زوج به دست می‌آید. ببینید: ⁦۱ + ۱ = ۲⁩، ⁦۳ + ۱ = ۴⁩، ⁦۵ + ۱ = ۶⁩.» یک مثال نقض پیدا کنید.
3. با جفت نقطه‌ها توضیح دهید چرا زوج به‌اضافه‌ی زوج همیشه زوج است.

جواب‌ها: ۲. هر عدد زوجی مثال نقض است: ⁦۲ + ۱ = ۳⁩ فرد است. ۳. جفت‌ها به‌اضافه‌ی جفت‌ها باز هم همه جفت‌اند و چیزی اضافه نمی‌ماند.

واژه‌های این درس

• مثال نقض (counterexample) - یک مورد که نشان می‌دهد ادعایی با «همیشه» یا «همه» نادرست است
• اثبات (proof) - استدلالی که نشان می‌دهد چرا چیزی در همه‌ی حالت‌ها درست است، نه فقط در حالت‌هایی که امتحان شده‌اند
• ثابت کردن (prove) - با یک اثبات نشان دادن که چیزی درست است

ایده‌ی اصلی

امتحان کردن مثال‌ها، هر قدر هم زیاد، نمی‌تواند نشان دهد چیزی برای همه‌ی عددها درست است: الگویی ممکن است پنج بار درست باشد و بار ششم بشکند. اثبات نشان می‌دهد چرا چیزی درست است، پس همه‌ی عددها را یک‌جا در بر می‌گیرد؛ و برای رد کردن ادعایی که اثبات ندارد، یک مثال نقض کافی است.