مضرب‌ها: شمردن با پرش
دکه‌ای در بازار لیما تخم‌مرغ را فقط در شانه‌های ۶تایی می‌فروشد. می‌شود یک شانه خرید، یا دو شانه، یا سه شانه، اما نمی‌شود در شانه را باز کرد و چند تا برداشت. آیا می‌شود دقیقاً ۲۰ تخم‌مرغ خرید؟
شمردن با پرش
تخم‌مرغ‌ها را شانه به شانه بشمارید:
- ۱ شانه: ۶ تخم‌مرغ؛
- ۲ شانه: ۱۲ تخم‌مرغ؛
- ۳ شانه: ۱۸ تخم‌مرغ؛
- ۴ شانه: ۲۴ تخم‌مرغ.
هر بار ۶ تا به تعداد تخم‌مرغ‌ها اضافه می‌شود: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴ و همین‌طور تا آخر. پس هیچ‌وقت به ۲۰ نمی‌رسیم. بعد از ۱۸ عدد بعدی ۲۴ است و از روی ۲۰ می‌پریم.
به عددهایی که رویشان فرود می‌آییم مضرب‌های ۶ (multiples) می‌گوییم. مضرب ۶ یعنی ۶ ضرب در یک عدد: ۶ × ۱ = ۶، ۶ × ۲ = ۱۲، ۶ × ۳ = ۱۸ و همین‌طور تا آخر.
همین را روی محور اعداد هم می‌شود دید. قورباغه‌ای از ۰ شروع می‌کند و هر بار ۳ خانه می‌پرد. روی ۳، ۶، ۹، ۱۲، ۱۵ و بعد از آن فرود می‌آید. این‌ها مضرب‌های ۳ هستند. هر عددی که از رویش می‌پرد، مثل ۷ یا ۱۱، مضرب ۳ نیست.
دو نکته‌ی دیگر درباره‌ی مضرب‌ها:
- مضرب‌ها تمام نمی‌شوند. قورباغه همیشه می‌تواند یک بار دیگر بپرد. بزرگ‌ترین مضرب ۳ وجود ندارد.
- ۰ مضرب همه‌ی عددهاست، چون ۶ × ۰ = ۰: صفر شانه، صفر تخم‌مرغ. قورباغه پیش از اولین پرشش همین‌جا ایستاده است.
مضرب هست یا نه؟
برای اینکه بفهمید ۲۰ مضرب ۶ هست یا نه، لازم نیست تا آنجا بشمارید. تقسیم کنید: ۲۰ ÷ ۶ می‌شود ۳ و باقی‌مانده‌ی ۲ (باقی‌مانده را در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم). چیزی باقی مانده است، پس ۲۰ مضرب ۶ نیست. اما ۲۴ ÷ ۶ = ۴ و چیزی باقی نمی‌ماند، پس ۲۴ مضرب ۶ است.
الگوهای مضرب‌ها
عددهای ۱ تا ۵۰ را در ردیف‌های ده‌تایی بنویسید و مضرب‌ها را رنگ کنید. مضرب‌های ۵ دو ستون صاف می‌سازند: رقم یکان همه‌شان ۵ یا ۰ است. مضرب‌های ۹ یک خط مورب می‌سازند، چون هر کدام ۱۰ تا بیشتر و ۱ تا کمتر از قبلی است.
این الگوها اولین نشانه‌اند که مضرب‌ها از قاعده‌هایی پیروی می‌کنند. در بخش بعدی این دوره از آن‌ها راه‌هایی سریع برای امتحان کردن عددها می‌سازیم.
در خانه امتحان کنید
- ده مضرب اول ۴ را بنویسید. کدام‌شان مضرب ۸ هم هستند؟
- دکمه در بسته‌های ۵تایی فروخته می‌شود. آیا می‌شود دقیقاً ۳۵ دکمه خرید؟ دقیقاً ۴۲ تا چطور؟
جواب‌ها: ۱. ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، ۲۴، ۲۸، ۳۲، ۳۶، ۴۰؛ یکی در میان (۸، ۱۶، ۲۴، ۳۲، ۴۰) مضرب ۸ هم هست. ۲. ۳۵ بله (۷ بسته)؛ ۴۲ نه، بین ۴۰ و ۴۵ است.
واژه‌های این درس
- مضرب (multiple) - حاصل ضرب یک عدد در ۰، ۱، ۲، ۳ و بعد از آن: مضرب‌های ۶ یعنی ۰، ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴ و همین‌طور تا آخر
ایده‌ی اصلی
مضرب‌های یک عدد جاهایی هستند که با پرش‌هایی به اندازه‌ی آن عدد رویشان فرود می‌آییم. مضرب‌ها تمام نمی‌شوند، ۰ همیشه یکی از آن‌هاست، و عددی مضرب است که اگر تقسیمش کنیم چیزی باقی نماند.