شکستن عددها
نانوایی در لاگوس سینی‌ای را از تنور بیرون می‌آورد. نان‌ها در ۷ ردیف چیده شده‌اند و در هر ردیف ۱۲ نان هست. روی هم چند نان است؟ جوابش ۷ × ۱۲ است، اما بیشتر مردم آن را از حفظ نیستند. آیا می‌شود با حساب‌های آسان به جواب رسید؟
در این دوره هر جا می‌گوییم «عدد»، منظورمان عددهای ۰، ۱، ۲، ۳ و همین‌طور تا آخر است، مگر آنکه درس چیز دیگری بگوید. در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم که چیزهایی که در ردیف‌های برابر چیده شده‌اند یک مستطیل می‌سازند که به آن آرایه (array) می‌گوییم، و ضرب تعداد آن‌ها را می‌شمارد: ۴ ردیف ۶تایی یعنی ۴ × ۶ = ۲۴. این درس دوباره به همین مستطیل نگاه می‌کند.
مستطیل را دو تکه کنید
سینی ۷ ردیف ۱۲تایی را در نظر بگیرید و بعد از ستون دهم خطی از بالا تا پایین بکشید. حالا دو مستطیل کوچک‌تر داریم:
- یک طرف ۷ ردیف ۱۰تایی است، یعنی ۷ × ۱۰ = ۷۰؛
- طرف دیگر ۷ ردیف ۲تایی است، یعنی ۷ × ۲ = ۱۴.
هیچ نانی گم نشده و هیچ نانی هم اضافه نشده است. پس کل سینی همان دو تکه است که کنار هم گذاشته شده‌اند:
- ۷ × ۱۲ = ۷ × ۱۰ + ۷ × ۲ = ۷۰ + ۱۴ = ۸۴.
به این کار شکستن عدد می‌گوییم: ۱۲ را به ۱۰ و ۲ شکستیم، هر تکه را در ۷ ضرب کردیم و جواب‌ها را با هم جمع کردیم. ریاضی‌دان‌ها به این قاعده خاصیت پخشی (distributive law) می‌گویند، اما برای به خاطر سپردنش همان مستطیل کافی است.
هر برشی درست است
خط را هر جای دیگری هم می‌شد کشید. اگر ۱۲ ستون را به ۶ و ۶ ببرید، به ۷ × ۶ + ۷ × ۶ = ۴۲ + ۴۲ = ۸۴ می‌رسید. همان جواب، چون همان سینی است.
پس برشی را انتخاب می‌کنیم که حساب را آسان کند. معمولاً ده‌تایی‌ها از همه آسان‌ترند، چون ضرب در ده فقط هر رقم را یک جا به چپ می‌برد:
- ۶ × ۱۳ = ۶ × ۱۰ + ۶ × ۳ = ۶۰ + ۱۸ = ۷۸.
سه عدد با هم
نانوا ۲ سینی دارد و در هر سینی ۳ ردیف ۴تایی کیک هست. روی هم چند کیک است؟ یعنی ۲ × ۳ × ۴. این را به دو شکل می‌شود گروه‌بندی کرد:
- اول یک سینی، ۳ × ۴ = ۱۲، بعد دو سینی: ۲ × ۱۲ = ۲۴؛
- یا اول ردیف‌ها، روی هم ۲ × ۳ = ۶ ردیف ۴تایی: ۶ × ۴ = ۲۴.
با جور دیگری شمردن، تعداد کیک‌ها عوض نمی‌شود. پس وقتی سه عدد را در هم ضرب می‌کنید، می‌توانید هر دو تایی را که خواستید اول ضرب کنید. ۵ × ۷ × ۲ این‌طور آسان‌تر است: اول ۵ × ۲ = ۱۰، بعد ۱۰ × ۷ = ۷۰.
در خانه امتحان کنید
- ۳ ردیف ۱۴تایی دکمه بچینید. بعد از ستون دهم یک مداد بگذارید. هر تکه را بشمارید و بعد آن‌ها را جمع کنید.
- ۲ × ۹ × ۵ را از راه آسانش حساب کنید.
جواب‌ها: ۱. ۳ × ۱۰ + ۳ × ۴ = ۳۰ + ۱۲ = ۴۲. ۲. اول ۲ × ۵ = ۱۰، بعد ۱۰ × ۹ = ۹۰.
واژه‌های این درس
- آرایه (array) - چیزهایی که در ردیف‌ها و ستون‌های برابر چیده شده‌اند و یک مستطیل می‌سازند
- شکستن عدد - عددی را به چند تکه تقسیم کنیم، هر تکه را ضرب کنیم و جواب‌ها را جمع کنیم: ۷ × ۱۲ = ۷ × ۱۰ + ۷ × ۲
- خاصیت پخشی (distributive law) - نامی که ریاضی‌دان‌ها روی شکستن عدد گذاشته‌اند
ایده‌ی اصلی
هر ضرب یک مستطیل است، و می‌شود مستطیل را بدون اینکه چیزی کم شود به مستطیل‌های کوچک‌تر برید. پس ۷ × ۱۲ همان ۷ × ۱۰ + ۷ × ۲ است. سه عدد را هم می‌شود با هر گروه‌بندی‌ای ضرب کرد: ۲ × ۳ × ۴ هر طور حساب شود ۲۴ است.