عددهایی که تجزیه نمی‌شوند
یک نانوا کلوچه‌ها را در سینی ردیف می‌کند، به طوری که همه‌ی ردیف‌ها به یک اندازه باشند. با دوازده کلوچه کار آسان است: ۲ ردیف ۶تایی، ۳ ردیف ۴تایی، یا یک ردیف بلند ۱۲تایی. فردا نانوا ۱۳ کلوچه دارد. در ۲ ردیف بچیند؟ یکی اضافه می‌ماند. در ۳ ردیف؟ باز هم یکی اضافه می‌ماند. ۴، ۵ یا ۶ ردیف؟ همیشه چیزی اضافه می‌ماند. چرا ۱۳ حاضر نیست یک مستطیل مرتب بسازد؟
فقط یک مستطیل
در درس «شمارنده‌ها: ساختن مستطیل» دیدیم که شمارنده‌های یک عدد همان مستطیل‌هایی هستند که نقطه‌هایش می‌سازند. ۱۲ نقطه سه مستطیل می‌سازد: ۱ × ۱۲، ۲ × ۶ و ۳ × ۴. پس ۱۲ شش شمارنده دارد: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲.
اما ۱۳ نقطه فقط یک مستطیل می‌سازد: یک ردیف تنها، ۱ × ۱۳. تنها شمارنده‌های ۱۳ عدد ۱ و خود ۱۳ است.
به عددی بزرگ‌تر از ۱ که تنها شمارنده‌هایش ۱ و خودش باشد عدد اول (prime number) می‌گویند. ۱۳ عدد اول است. به عددی بزرگ‌تر از ۱ که شمارنده‌های بیشتری دارد، مثل ۱۲، عدد مرکب (composite number) می‌گویند: این عدد را می‌شود از ضرب عددهای کوچک‌تر ساخت (۱۲ = ۳ × ۴).
نخستین عددهای اول
عددها را یکی‌یکی امتحان کنیم و دنبال مستطیلی بگردیم که بیش از یک ردیف داشته باشد:
- ۲: فقط ۱ × ۲. اول است.
- ۳: فقط ۱ × ۳. اول است.
- ۴: ۲ × ۲. مرکب است.
- ۵ اول است. ۶ = ۲ × ۳ مرکب است. ۷ اول است.
- ۸ = ۲ × ۴، ۹ = ۳ × ۳ و ۱۰ = ۲ × ۵ هر سه مرکب‌اند.
- ۱۱ اول است. ۱۲ مرکب است. ۱۳ اول است.
عددهای اول تا ۳۰ این‌ها هستند: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳ و ۲۹. دقت کنید که ۲ تنها عدد اول زوج است. هر عدد زوج دیگری را می‌شود در ۲ ردیف چید، پس ۲ یکی از شمارنده‌های آن است.
پس ۱ چه؟
یک نقطه هم فقط یک مستطیل می‌سازد. اما ۱ فقط یک شمارنده دارد، یعنی خودش، نه دو تا. ریاضی‌دان‌ها از مدت‌ها پیش توافق کرده‌اند که ۱ عدد اول نیست، و مرکب هم نیست. ۱ جای خودش را دارد. این فقط قاعده‌ای برای حفظ کردن نیست: در درس «فقط یک راه برای ساختن» می‌بینیم که چرا این انتخاب مهم است.
در خانه امتحان کنید
- ۷ دکمه بردارید و سعی کنید آن‌ها را در ۲ ردیف، ۳ ردیف و بیشتر بچینید. آیا ۷ عدد اول است؟
- همین کار را با ۱۵ دکمه بکنید.
- آیا ۲۱ عدد اول است؟ ۲۳ چطور؟
جواب‌ها: ۱. جز یک ردیف هیچ مستطیلی ساخته نمی‌شود، پس ۷ اول است؛ ۲. ۳ ردیف ۵تایی، پس ۱۵ مرکب است؛ ۳. ۲۱ = ۳ × ۷ مرکب است و ۲۳ اول است.
واژه‌های این درس
- عدد اول (prime number) - عددی بزرگ‌تر از ۱ که تنها شمارنده‌هایش ۱ و خودش است، مثل ۲، ۳، ۵، ۷ و ۱۳
- عدد مرکب (composite number) - عددی بزرگ‌تر از ۱ که بیش از دو شمارنده دارد، مثل ۴، ۱۲ و ۱۵
ایده‌ی اصلی
نقطه‌های یک عدد اول فقط یک مستطیل می‌سازند، یعنی یک ردیف تنها: تنها شمارنده‌هایش ۱ و خودش است. یک عدد مرکب را می‌شود به شمارنده‌های کوچک‌تر تجزیه کرد. ۱ نه اول است و نه مرکب.