بخش‌پذیری بر ۲، ۵ و ۱۰
فروشنده‌ای در بازار ۱٬۲۳۵ تیله دارد و می‌خواهد آن‌ها را در کیسه‌های ۵تایی بریزد. آیا تیله‌ای اضافه می‌ماند؟ می‌تواند کیسه‌ها را یکی‌یکی پر کند و ببیند، اما این کار خیلی طول می‌کشد. تقسیم ۱٬۲۳۵ بر ۵ هم وقت می‌گیرد. راه سریع‌تری هست که بفهمیم عددی بر ۵ بخش‌پذیر است یا نه؟
راهی هست، و فقط یک نگاه لازم دارد. به چنین راه سریعی برای وارسی، قاعده‌ی بخش‌پذیری (divisibility test) می‌گوییم.
هر ده‌تایی تقسیم می‌شود
یک ده‌تایی را در نظر بگیرید: ده نقطه در یک ردیف.
- ده را می‌شود دوتادوتا کرد: ۵ جفت، و چیزی نمی‌ماند.
- ده را می‌شود پنج‌تاپنج‌تا کرد: ۲ پنج‌تایی، و چیزی نمی‌ماند.
- ده را می‌شود ده‌تاده‌تا کرد: ۱ ده‌تایی، که روشن است.
حالا ۱٬۲۳۵ را همان‌طور ببینید که ارزش مکانی می‌نویسد: ۱۲۳ ده‌تایی و ۵ یکی. هر کدام از این ده‌تایی‌ها بی‌آنکه چیزی بماند پنج‌تاپنج‌تا می‌شود، پس ۱۲۳ ده‌تایی هیچ دردسری ندارند. فقط ۵ یکی می‌ماند که تکلیف را روشن کند، و ۵ یکی درست یک کیسه‌ی ۵تایی دیگر می‌شود.
پس ۱٬۲۳۵ تیله بدون باقی‌مانده در کیسه‌های ۵تایی جا می‌گیرد. فروشنده فقط باید به رقم آخر نگاه می‌کرد.
سه قاعده
چون ده‌تایی‌ها هیچ‌وقت چیزی باقی نمی‌گذارند، برای ۲، ۵ و ۱۰ رقم آخر تصمیم می‌گیرد:
- بخش‌پذیر بر ۱۰: رقم آخر ۰ است. (۳۷۰ بله، ۳۷۵ نه.)
- بخش‌پذیر بر ۵: رقم آخر ۰ یا ۵ است. (۳۷۵ بله، ۳۷۶ نه.)
- بخش‌پذیر بر ۲: رقم آخر ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ است، یعنی عدد زوج است. (۳۷۶ بله، ۳۷۷ نه.) این همان قاعده‌ی زوج و فرد در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» است، و به همان دلیل درست است.
در جدول عددهای ۱ تا ۱۰۰، عددهای بخش‌پذیر بر هر کدام ستون‌های صاف می‌سازند، چون فقط رقم آخر مهم است:
رقم آخر باقی‌مانده را هم می‌گوید
ده‌تایی‌ها هیچ‌وقت چیزی باقی نمی‌گذارند، پس هرچه بماند از یکان می‌آید. ۱٬۲۳۷ تیله را در کیسه‌های ۵تایی بریزید. رقم آخر ۷ است، و ۷ یعنی یک کیسه‌ی ۵تایی و ۲ تیله‌ی اضافه. پس باقی‌مانده‌ی تقسیم ۱٬۲۳۷ بر ۵، عدد ۲ است.
مراقب باشید: این کار فقط برای ۲، ۵ و ۱۰ جواب می‌دهد، چون این‌ها عددهایی هستند که ده را درست تقسیم می‌کنند. برای ۳ جواب نمی‌دهد. رقم آخر ۱۳ عدد ۳ است، اما ۱۳ بر ۳ بخش‌پذیر نیست: ۴ تا سه‌تایی و ۱ اضافه. برای ۳ فکر دیگری لازم است، در درس بعد.
در خانه امتحان کنید
- به قیمت‌های یک مغازه یا یک رسید خرید نگاه کنید. کدام‌ها بر ۵ بخش‌پذیرند؟ کدام‌ها بر ۱۰؟
- بر ۲، ۵، ۱۰ یا هیچ‌کدام: ۴٬۵۶۰؛ ۷۸۵؛ ۲٬۲۲۲؛ ۱٬۰۰۱؟
- اگر ۳٬۱۴۸ را پنج‌تاپنج‌تا کنیم، چند تا می‌ماند؟ جواب‌ها پایین آمده است.
جواب‌ها: ۴٬۵۶۰ بر هر سه؛ ۷۸۵ بر ۵؛ ۲٬۲۲۲ بر ۲؛ ۱٬۰۰۱ بر هیچ‌کدام. رقم آخر ۳٬۱۴۸ عدد ۸ است، یعنی یک پنج‌تایی و ۳ تا بیشتر، پس ۳ تا می‌ماند.
واژه‌های این درس
- قاعده‌ی بخش‌پذیری (divisibility test) - راهی سریع برای اینکه بفهمیم عددی بر عدد دیگر بخش‌پذیر است یا نه، بدون اینکه تقسیم را کامل انجام دهیم
- رقم آخر - رقم یکان، که در سمت راست عدد نوشته می‌شود
ایده‌ی اصلی
هر ده‌تایی بی‌آنکه چیزی بماند به دوتایی، پنج‌تایی و ده‌تایی تقسیم می‌شود، پس فقط رقم آخر تصمیم می‌گیرد. عددی که رقم آخرش ۰ باشد بر ۱۰ بخش‌پذیر است، اگر ۰ یا ۵ باشد بر ۵، و اگر زوج باشد بر ۲.