ساده‌ترین شکل کسر
یک شکلات تخته‌ای ۲۴ مربع کوچک دارد: ۴ ردیف ۶تایی. بعد از تماشای فیلم، کوروش می‌شمارد که خانواده چقدر خورده است: ۱۸ مربع، یعنی ۱۸/۲۴ شکلات. خواهرش می‌پرسد: «زیاد است؟» از روی ۱۸/۲۴ سخت می‌شود فهمید. آیا همین مقدار اسم ساده‌تری هم دارد؟
تقسیم صورت و مخرج
در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم که اگر صورت و مخرج یک کسر را در یک عدد ضرب کنیم، کسری مساوی به دست می‌آید: همان مقدار با اسمی دیگر (۱/۲ = ۲/۴). برعکسش هم درست است: اگر صورت و مخرج را بر یک عدد تقسیم کنیم، باز هم کسری مساوی به دست می‌آید.
دوباره به شکلات نگاه کنید، اما این بار هر ردیف ۶تایی را یک تکه‌ی بزرگ ببینید. حالا شکلات ۴ تکه‌ی بزرگ دارد، و ۱۸ مربعِ خورده‌شده ۳ تا از این تکه‌ها را پر کرده‌اند (۳ ردیف ۶تایی می‌شود ۱۸).
- ۱۸ ÷ ۶ = ۳ و ۲۴ ÷ ۶ = ۴، پس ۱۸/۲۴ = ۳/۴.
سه‌چهارم شکلات خورده شده است. این را راحت می‌شود در ذهن دید.
بر چه عددی تقسیم کنیم؟
فقط بر عددی می‌شود تقسیم کرد که هم صورت و هم مخرج را بی‌باقی‌مانده بشمارد، یعنی یک شمارنده‌ی مشترک. کوروش می‌تواند قدم‌به‌قدم جلو برود:
- هر دو را بر ۲ تقسیم کند: ۱۸/۲۴ = ۹/۱۲؛
- بعد هر دو را بر ۳: ۹/۱۲ = ۳/۴.
یا می‌تواند یک‌باره از بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک استفاده کند. در درس «بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک» دیدیم که آن را چطور پیدا کنیم: ب.م.م ۱۸ و ۲۴ برابر ۶ است. تقسیم بر ۶ در یک قدم به جواب می‌رسد: ۱۸/۲۴ = ۳/۴.
هر دو راه به یک جا می‌رسند. قدم‌های کوچک هم درست است؛ ب.م.م فقط کار را کوتاه‌تر می‌کند.
کی دست نگه داریم؟
آیا ۳/۴ را می‌شود ساده‌تر کرد؟ شمارنده‌های ۳ عبارت‌اند از ۱ و ۳، و شمارنده‌های ۴ از ۱، ۲ و ۴. تنها شمارنده‌ی مشترک ۱ است، و تقسیم بر ۱ چیزی را عوض نمی‌کند. پس همین‌جا می‌ایستیم. کسری که صورت و مخرجش جز ۱ شمارنده‌ی مشترکی ندارند، در ساده‌ترین شکلش است.
- ۸/۱۵ از اول در ساده‌ترین شکلش است: ۸ و ۱۵ فقط ۱ را مشترک دارند.
- ۱۰/۱۵ نیست: هر دو بر ۵ بخش‌پذیرند، پس ۱۰/۱۵ = ۲/۳.
هر کسر فقط یک ساده‌ترین شکل دارد. این راه خوبی است برای اینکه بفهمیم دو کسر یک مقدارند یا نه: هر دو را ساده کنید. ۱۰/۱۵ و ۱۴/۲۱ متفاوت به نظر می‌رسند، اما ۱۰/۱۵ = ۲/۳ و ۱۴/۲۱ = ۲/۳ (با تقسیم بر ۷). پس با هم مساوی‌اند.
در خانه امتحان کنید
- شکلاتی با ۳ ردیف ۴تایی بکشید و ۸ مربعش را رنگ کنید. چه کسری رنگی است؟ مربع‌ها را دسته کنید تا ساده‌ترین شکلش را پیدا کنید.
- ۶/۹، ۱۲/۱۶ و ۲۰/۳۰ را به ساده‌ترین شکل بنویسید.
- آیا ۶/۸ و ۹/۱۲ یک مقدارند؟
جواب‌ها: ۱. ۸/۱۲ = ۲/۳. ۲. ۲/۳، ۳/۴، ۲/۳. ۳. بله، هر دو ۳/۴ هستند.
واژه‌های این درس
- ساده‌ترین شکل کسر - شکلی از کسر که صورت و مخرجش جز ۱ شمارنده‌ی مشترکی ندارند، مثل ۳/۴
ایده‌ی اصلی
اگر صورت و مخرج کسری را بر یک عدد تقسیم کنیم، مقدارش عوض نمی‌شود. تقسیم بر ب.م.م آن‌ها کسر را در یک قدم به ساده‌ترین شکلش می‌رساند: ۱۸/۲۴ = ۳/۴. دو کسر وقتی و فقط وقتی یک مقدارند که ساده‌ترین شکلشان یکی باشد.