باز هم زوج و فرد

پنج دوست برای بازی تیله آورده‌اند و تعداد تیله‌های هر کدام فرد است: شاید ۳، شاید ۷، شاید ۱۰۱. ممکن است روی هم ۲۰ تیله داشته باشند؟ می‌توانید عددهای مختلف زیادی را امتحان کنید. اما هر قدر هم امتحان کنید، باز عددهایی می‌ماند که امتحان نکرده‌اید. راهی هست که مطمئن شویم؟

تصویری از هر عدد زوج

در دوره‌ی «عددها، سطح ۱» دیدیم که عدد زوج جفت‌جفت می‌شود و عدد فرد همیشه یکی اضافه دارد. بیایید این را به شکل یک تصویر بکشیم:

• عدد زوج مستطیلی از نقطه‌هاست که دو ردیف دارد. عدد زوج مضرب ۲ است.
• عدد فرد همان مستطیل است، با یک نقطه‌ی اضافه که از سرش بیرون زده است.

فاصله‌ی وسط هر ردیف یعنی «هر قدر بلند که بخواهید». پس این تصویر ۸ یا ۱۲ یا ۱٬۰۰۰ نیست. همه‌ی عددهای زوج را با هم نشان می‌دهد، و همه‌ی عددهای فرد را با هم.

جمع، برای همه‌ی عددها

حالا دو عدد فرد را کنار هم بگذارید. هر کدام مستطیلی دوردیفه است با یک نقطه‌ی اضافه. دو شکل را به هم بچسبانید: دو نقطه‌ی اضافه با هم یک جفت تازه می‌سازند.

نتیجه دو ردیف کامل است، یعنی یک عدد زوج. ردیف‌ها هر قدر هم بلند باشند، این درست است. پس فرد + فرد برای هر دو عدد فردی زوج است - حتی برای عددهایی که هیچ‌کس تا حالا ننوشته است. ما مثال‌ها را وارسی نکردیم؛ دیدیم که چرا این‌طور است.

با همین تصویر: زوج + زوج دو مستطیل است که باز هم دو ردیف دارد (زوج). زوج + فرد آن نقطه‌ی اضافه را نگه می‌دارد (فرد).

ضرب

ضرب چطور؟ ⁦۳ × ۵⁩ یعنی ۳ ردیف ۵تایی از نقطه‌ها.

• هر ردیف ۵تایی ۲ جفت می‌سازد و ۱ نقطه اضافه دارد.
• ۳ ردیف داریم، پس ۳ نقطه اضافه است. دو تا از آن‌ها با هم جفت می‌شوند و ۱ نقطه باز تنها می‌ماند.

تعداد فردی ردیف که هر کدام یک نقطه‌ی اضافه دارد، آخر سر همیشه یک نقطه‌ی تنها باقی می‌گذارد. پس فرد × فرد، فرد است. و اگر یکی از دو عدد زوج باشد، یا همه‌ی ردیف‌ها جفت‌جفت می‌شوند یا خودِ ردیف‌ها دوتادوتا جفت می‌شوند، پس زوج ضرب در هر عددی، زوج است.

برگردیم سراغ تیله‌ها

عدد فردِ هر دوست یک تیله‌ی اضافه دارد. پنج دوست یعنی پنج تیله‌ی اضافه. چهار تا با هم جفت می‌شوند و یکی تنها می‌ماند. پس مجموع همیشه فرد است و هیچ‌وقت ۲۰ نمی‌شود. این را بدون امتحان کردن حتی یک عدد می‌دانیم.

در خانه امتحان کنید

1. بدون حساب کردن بگویید زوج است یا فرد: ⁦۱۷ + ۲۶⁩؛ ⁦۱۵ + ۳۳⁩؛ ⁦۷ × ۹⁩؛ ⁦۷ × ۱۰⁩.
2. آیا سه عدد فرد ممکن است روی هم ۳۰ شوند؟
3. با دکمه‌ها در دو ردیف، ⁦۹ + ۷⁩ را نشان دهید. دکمه‌های اضافه کجا می‌روند؟ جواب‌ها پایین آمده است.

جواب‌ها: فرد، زوج، فرد، زوج. نه: سه نقطه‌ی اضافه یکی را تنها می‌گذارند، پس مجموع فرد است. دو دکمه‌ی اضافه با هم یک جفت دیگر می‌سازند.

واژه‌های این درس

• برای همه‌ی عددها - درست درباره‌ی همه‌ی عددها، نه فقط عددهایی که امتحان کرده‌ایم؛ تصویری با ردیف‌هایی «هر قدر بلند که بخواهید» می‌تواند آن را نشان دهد

ایده‌ی اصلی

عدد زوج دو ردیف نقطه است؛ عدد فرد یک نقطه‌ی اضافه هم دارد. وقتی شکل‌ها را کنار هم می‌گذاریم، می‌بینیم چرا فرد + فرد زوج است و فرد × فرد فرد - برای همه‌ی عددها با هم، نه فقط آن‌هایی که وارسی کرده‌ایم.