شمارنده‌ها: ساختن مستطیل
خانم معلمی در شیراز ۱۲ صندلی برای کلاس کتاب‌خوانی دارد. می‌خواهد آن‌ها را در ردیف‌های برابر بچیند، طوری که نه صندلی‌ای اضافه بماند و نه جایی خالی. به چند شکل می‌تواند این کار را بکند؟
همه‌ی مستطیل‌های ۱۲
طول‌های مختلف ردیف را امتحان کنید و ببینید صندلی‌ها ردیف‌ها را دقیقاً پر می‌کنند یا نه:
- ۱ ردیف ۱۲تایی، یا ۱۲ ردیف ۱تایی؛
- ۲ ردیف ۶تایی، یا ۶ ردیف ۲تایی؛
- ۳ ردیف ۴تایی، یا ۴ ردیف ۳تایی.
ردیف‌های ۵تایی جور درنمی‌آیند: دو ردیف ۵تایی ۱۰ صندلی می‌شود و ۲ صندلی اضافه می‌ماند. ردیف‌های ۷، ۸، ۹، ۱۰ یا ۱۱تایی هم جور درنمی‌آیند.
به عددهایی که با ۱۲ مستطیل می‌سازند شمارنده‌های ۱۲ (factors) می‌گوییم:
- ۱، ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲.
شمارنده‌ی ۱۲ عددی است که اگر آن را در عدد دیگری ضرب کنیم، ۱۲ به دست بیاید. هر مستطیل دو شمارنده را با هم نشان می‌دهد: ۳ ردیف ۴تایی یعنی ۳ و ۴ هر دو شمارنده‌اند. پس شمارنده‌ها جفت‌جفت می‌آیند: ۱ و ۱۲، ۲ و ۶، ۳ و ۴. به هر کدام از این‌ها یک جفت شمارنده (factor pair) می‌گوییم.
شمارنده و مضرب دو روی یک سکه‌اند. ۳ × ۴ = ۱۲ یعنی ۳ شمارنده‌ی ۱۲ است، و نیز یعنی ۱۲ مضرب ۳ است (همان جایی که بعد از چهار پرش ۳تایی به آن می‌رسیم).
پیدا کردن همه‌ی شمارنده‌ها
برای اینکه همه‌ی شمارنده‌های ۳۶ را پیدا کنید و هیچ‌کدام از قلم نیفتد، از ۱ شروع کنید، بالا بروید و هر جفت را بنویسید:
- ۱ × ۳۶
- ۲ × ۱۸
- ۳ × ۱۲
- ۴ × ۹
- ۵ جور درنمی‌آید (۳۶ ÷ ۵ یکی باقی می‌گذارد)
- ۶ × ۶
همین‌جا دست نگه دارید. جفت بعدی ۹ × ۴ است، که همان ۴ × ۹ است که برعکس شده. جفت‌ها وسط، در ۶ × ۶، به هم می‌رسند. پس شمارنده‌های ۳۶ این‌ها هستند: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۹، ۱۲، ۱۸ و ۳۶.
شمارنده‌های زیاد یا کم
هر عددی دست‌کم دو شمارنده دارد: ۱ و خودش (یک ردیف بلند). بعضی عددها خیلی بیشتر دارند: ۱۲ شش شمارنده دارد و ۳۶ نُه شمارنده. اما ۷ صندلی را امتحان کنید: در ردیف‌های ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶تایی همیشه چند صندلی اضافه می‌ماند. هفت صندلی فقط یک ردیف بلند می‌سازد. چنین عددهایی ویژه‌اند، و یک بخش کامل از این دوره درباره‌ی آن‌هاست.
در خانه امتحان کنید
- ۱۸ دکمه بردارید و همه‌ی مستطیل‌هایی را که می‌شود با آن‌ها ساخت پیدا کنید. شمارنده‌های ۱۸ را بنویسید.
- شمارنده‌های ۲۰ را با بالا رفتن از ۱ پیدا کنید. جفت‌ها کجا به هم می‌رسند؟
جواب‌ها: ۱. ۱ × ۱۸، ۲ × ۹، ۳ × ۶، پس شمارنده‌ها ۱، ۲، ۳، ۶، ۹ و ۱۸ هستند. ۲. ۱ × ۲۰، ۲ × ۱۰، ۴ × ۵ (۳ جور درنمی‌آید)؛ بعد از ۴ × ۵ نوبت ۵ × ۴ است، پس شمارنده‌ها ۱، ۲، ۴، ۵، ۱۰ و ۲۰ هستند.
واژه‌های این درس
- شمارنده (factor) - عددی که در عدد دیگری ضرب می‌شود تا عدد مورد نظر را بسازد: ۳ شمارنده‌ی ۱۲ است، چون ۳ × ۴ = ۱۲
- جفت شمارنده (factor pair) - دو شمارنده که حاصل‌ضربشان خود عدد است، مثل ۳ و ۴ برای ۱۲
ایده‌ی اصلی
شمارنده‌های یک عدد طول ردیف‌هایی هستند که با آن عدد مستطیل می‌سازند. شمارنده‌ها جفت‌جفت می‌آیند و جفت‌ها وسط به هم می‌رسند، پس می‌شود همه را با بالا رفتن از ۱ پیدا کرد، تا وقتی که جفت‌ها برعکس شوند.