برهان خلف
کسی آخرین برش کیک را در آشپزخانه‌ی کافه خورده. مدیر به بن، پیشخدمت، شک دارد. بن با آرامش می‌گوید: «فرض کنیم من خورده باشم. آن وقت ساعت سه، وقتی کیک گم شد، باید توی آشپزخانه بوده باشم. ولی ساعت سه من در ایستگاه اتوبوس بودم - راننده‌ی اتوبوس من را دید و دوربین اتوبوس هم از من فیلم گرفت. نمی‌توانم هم‌زمان دو جا باشم. پس من نخوردمش.»
بن کار زیرکانه‌ای کرد. برای این‌که نشان دهد ادعایی نادرست است، فرض کرد درست است.
فرض کن، بعد دنبال کن
شکل استدلال بن این است:
- فرض کنید ادعا درست است: «بن کیک را خورد.»
- دنبال کنید که آن وقت چه چیزی باید درست باشد: «بن ساعت سه در آشپزخانه بود.»
- به چیزی ناممکن برخورد کنید: بن ساعت سه در ایستگاه اتوبوس هم بود. هیچ‌کس نمی‌تواند هم‌زمان دو جا باشد.
- نتیجه بگیرید که ادعا نادرست است: «بن کیک را نخورد.»
نام فارسی این روش برهان خلف (proof by impossibility) است. نام قدیمی لاتینش reductio ad absurdum است، یعنی «برگرداندن به چیزی بی‌معنی». منطق‌دان‌ها به آن اثبات از راه تناقض (proof by contradiction) هم می‌گویند، چون گام ۳ معمولاً دو ادعا پیدا می‌کند که نمی‌توانند هر دو درست باشند.
چرا این روش کار می‌کند؟ اگر ادعایی، با گام‌هایی که هر کدام برمی‌آیند، به چیزی ناممکن برسد، آن ادعا نمی‌تواند درست باشد. ادعای درست هیچ‌وقت با گام‌هایی که برمی‌آیند به ادعایی ناممکن نمی‌رسد (معنای «برآمدن» همین است).
نمونه‌ای مشهور: بزرگ‌ترین عدد وجود ندارد
این برهان خلفی است که آدم‌ها هزاران سال است می‌شناسند. آیا بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود دارد؟
- فرض کنید وجود دارد. اسمش را بگذارید «بزرگ‌ترین عدد».
- دنبال کنید: ۱ به آن اضافه کنید. باز هم یک عدد طبیعی به دست می‌آید.
- به چیزی ناممکن برخورد کنید: این عدد تازه از بزرگ‌ترین عدد بزرگ‌تر است. عددی بزرگ‌تر از بزرگ‌ترین عدد؟ نمی‌شود.
- نتیجه بگیرید: بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد.
دقت کنید که کسی تا ابد نشمرد تا بررسی کند. برهان فقط با دنبال کردن فرض تا آخرش جواب را نشان می‌دهد.
با دقت به کارش ببرید
برهان خلف فقط به اندازه‌ی گام‌هایش خوب است. هر گام باید از گام قبل برآید (با حرکت‌های درس «چهار حرکت» و «خط زدن»). و چیزی که به آن برخورد می‌کند باید واقعاً ناممکن باشد، نه فقط عجیب یا غیرعادی. «آن وقت باید خیلی تند دویده باشی» ناممکن نیست. «آن وقت باید هم‌زمان دو جا بوده باشی» ناممکن است.
در حرف‌های روزمره هم می‌توانید از آن استفاده کنید: «اگر واقعاً هیچ پولی برایمان نمانده بود، پس همین حالا بستنی‌ها را با چه خریدیم؟»
در خانه امتحان کنید
- دوستتان می‌گوید: «هیچ‌کس در کلاس ما تولدش در خرداد نیست.» می‌دانید که تولد سارا ۱۳ خرداد است. این را به شکل برهان خلف بنویسید.
- آیا کوچک‌ترین عدد بزرگ‌تر از صفر وجود دارد؟ فرض کنید وجود دارد و به نصفش فکر کنید.
واژه‌های این درس
- برهان خلف (reductio ad absurdum، اثبات از راه تناقض) - نشان دادن نادرستی یک ادعا با فرض درست بودنش و دنبال کردنش تا چیزی ناممکن
ایده‌ی اصلی
برای نشان دادن نادرستی یک ادعا، فرض کنید درست است و آن را گام به گام، با گام‌هایی که برمی‌آیند، دنبال کنید. اگر به چیزی ناممکن رسیدید، ادعا ناچار نادرست است.