کشیدن «همه» و «بعضی»

مدرسه‌ی خانم اوکافور یک باشگاه فوتبال و یک باشگاه موسیقی دارد. او چهار چیز به پدر و مادرها می‌گوید:

1. همه‌ی فوتبالیست‌ها کلاس ششم‌اند.
2. هیچ فوتبالیستی عضو باشگاه موسیقی نیست.
3. بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو می‌زنند.
4. بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو نمی‌زنند.

هر کدام از این ادعاها درباره‌ی دو گروه از آدم‌هاست. در سطح ۱ «همه‌ی سگ‌ها حیوان‌اند» را به شکل دایره‌ی کوچک سگ‌ها درون دایره‌ی بزرگ حیوان‌ها کشیدیم. همین فکر برای همه‌ی ادعاهایی مثل این‌ها کار می‌کند، و واژه‌ها را به تصویری تبدیل می‌کند که با یک نگاه می‌شود بررسی‌اش کرد.

برای هر گروه یک دایره

برای هر گروه یک دایره بکشید. هر چیزی درون دایره است به آن گروه تعلق دارد؛ هر چیزی بیرونش است، نه. به این‌ها نمودار دایره‌ای (circle diagram) می‌گویند. نام دیگرشان نمودار اویلر است، به یاد ریاضی‌دانی به نام لئونارد اویلر، که در دهه‌ی ۱۷۶۰ میلادی در نامه‌هایی که برای آموزش یک شاهزاده‌خانم جوان آلمانی می‌نوشت از آن‌ها استفاده کرد. هر کدام از چهار ادعا این‌طور کشیده می‌شود.

• همه‌ی فوتبالیست‌ها کلاس ششم‌اند: دایره‌ی فوتبال کاملاً درون دایره‌ی کلاس ششم است. یک فوتبالیست هیچ جای دیگری جز درون کلاس ششم نمی‌تواند باشد.
• هیچ فوتبالیستی عضو باشگاه موسیقی نیست: دایره‌ها از هم جدا هستند. هیچ‌کس در هر دو نیست.
• بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو می‌زنند: دایره‌ها روی هم افتاده‌اند و یک نقطه در بخش مشترک نشان می‌دهد که واقعاً کسی آن‌جاست.
• بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو نمی‌زنند: یک نقطه در دایره‌ی موسیقی، بیرون از دایره‌ی پیانو.

چرا نقطه؟

دو دایره‌ی روی هم به تنهایی فقط می‌گویند که چیزی ممکن است در هر دو گروه باشد. نقطه می‌گوید که چیزی هست. «بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو می‌زنند» ادعا می‌کند دست‌کم یک نفر در هر دو گروه هست، پس نقطه لازم دارد.

نقیض‌ها در تصویر

در درس «گفتن مخالف واقعی» دیدیم که نقیض «همه» «نه همه» است و نقیض «بعضی» «هیچ». شکل‌ها نشان می‌دهند چرا:

• «همه‌ی فوتبالیست‌ها کلاس ششم‌اند» همین که یک نقطه در دایره‌ی فوتبال بیرون از کلاس ششم باشد نادرست می‌شود. این یعنی «بعضی از فوتبالیست‌ها کلاس ششم نیستند».
• «بعضی از اعضای باشگاه موسیقی پیانو می‌زنند» فقط وقتی نادرست است که بخش مشترک خالی باشد، و آن وقت «هیچ عضوی از باشگاه موسیقی پیانو نمی‌زند» درست است.

در خانه امتحان کنید

هر ادعا را با دو دایره بکشید (و اگر لازم شد با یک نقطه):

1. همه‌ی گوجه‌فرنگی‌ها میوه‌اند.
2. هیچ ماهی‌ای پرنده نیست.
3. بعضی از کتاب‌های خانه‌تان تصویر دارند.
4. بعضی از دوستانتان فوتبال دوست ندارند.

واژه‌های این درس

• نمودار دایره‌ای (نمودار اویلر) - کشیدن گروه‌ها به شکل دایره: درون هم برای «همه»، جدا از هم برای «هیچ»، و نقطه‌ای در بخش مشترک برای «بعضی»

ایده‌ی اصلی

هر ادعایی با «همه»، «بعضی» یا «هیچ» درباره‌ی دو گروه را می‌شود با دو دایره کشید: یکی درون دیگری، جدا از هم، یا روی هم با یک نقطه. شکل دقیقاً همان چیزی را نشان می‌دهد که واژه‌ها می‌گویند.