Knaph
کاوش

هندسه

آن را بخوانید درهندسه، سطح ۱: شکل‌ها و فضا

نقشه

پیکان‌ها از آنچه اول می‌آموزید به آنچه باز می‌کند اشاره دارند. نشانگر را روی یک مفهوم ببرید تا زنجیرهٔ آن و جایی که عمیق‌تر برمی‌گردد روشن شود. برای دیدن درس‌ها و داستان‌های یک مفهوم، روی آن راست‌کلیک کنید (یا انگشت خود را روی آن نگه دارید).

  • ثابت‌شده تا عمق123
  • باز
  • قفل
  • عمیق‌تر برمی‌گردد
عمق 3عمق 2عمق 2عمق 2عمق 2انتقال، دوران و بازتابتقارنخط‌های موازی و عموددایرهزاویهشکل‌های فضاییشکل‌های متشابهعدد پی (π)قضیه‌ی فیثاغورسمثلث‌هامحیطمختصاتمساحتنقطه و خطچندضلعی‌هاچهارضلعی‌هاطولدر اندازه‌گیریمحور اعداددر دستگاه‌های عددیجمعدر حسابعددهای اعشاریدر کسرهاعددهای مربعیدر نظریه‌ی اعدادجذردر حسابضربدر حساب

مسیر یادگیری

به ترتیبی که مفاهیم بر هم بنا می‌شوند.

  1. نقطه و خطقفلنقطه یک جاست و هیچ اندازه‌ای ندارد. خط راست است و از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد؛ پاره‌خط تکه‌ای از خط است که دو سر دارد؛ و نیم‌خط از یک نقطه شروع می‌شود و از یک طرف تا بی‌نهایت می‌رود. مسیر راست میان دو نقطه کوتاه‌ترین مسیر است، و از دو نقطه فقط یک خط راست می‌گذرد.باز می‌شود پس از: طول
  2. دایرهقفلدایره همه‌ی نقطه‌هایی است که از یک نقطه، یعنی مرکز، به یک فاصله‌اند. این فاصله شعاع است؛ قطر از یک طرف دایره، از مرکز، به طرف دیگر می‌رود و اندازه‌اش دو شعاع است؛ و محیط دایره اندازه‌ی دور تا دور آن است. مساحت دایره ⁦π × شعاع × شعاع⁩ است.باز می‌شود پس از: نقطه و خط, طول
  3. زاویهقفلزاویه مقدار چرخش میان دو خط است که از یک نقطه شروع می‌شوند. یک‌چهارم دور یک زاویه‌ی قائمه است، مثل گوشه‌ی یک برگ کاغذ. زاویه را با درجه اندازه می‌گیرند: یک دور کامل ۳۶۰ درجه است، زاویه‌ی قائمه ۹۰ درجه و زاویه‌ی نیم‌صفحه ۱۸۰ درجه. زاویه‌ی کوچک‌تر از ۹۰ درجه تند است و زاویه‌ی میان ۹۰ و ۱۸۰ درجه باز.باز می‌شود پس از: نقطه و خط
  4. چندضلعی‌هاقفلچندضلعی شکلی صاف است که ضلع‌های راستش آن را می‌بندند و فقط در سرهایشان به هم می‌رسند، مثل مثلث یا تابلوی ایست. نامش را از تعداد ضلع‌هایش می‌گیرد (پنج‌ضلعی ۵ ضلع دارد، شش‌ضلعی ۶، هشت‌ضلعی ۸) و به تعداد ضلع‌هایش رأس (گوشه) دارد. در چندضلعی منتظم همه‌ی ضلع‌ها با هم برابرند و همه‌ی زاویه‌ها هم.باز می‌شود پس از: نقطه و خط, زاویه
  5. خط‌های موازی و عمودقفلخط‌های موازی همیشه به یک فاصله از هم می‌مانند و هیچ‌وقت به هم نمی‌رسند، مثل دو ریل راه‌آهن. خط‌های عمود با زاویه‌ی قائمه به هم می‌رسند یا از هم می‌گذرند، مثل دو لبه در گوشه‌ی یک برگ کاغذ. دو خطی که هر دو بر یک خط سوم عمودند، با هم موازی‌اند.باز می‌شود پس از: زاویه
  6. تقارنقفلشکلی تقارن دارد که بشود آن را روی خطی تا کرد و دو نیمه‌اش درست روی هم بیفتند، هر نیمه تصویر آینه‌ای نیمه‌ی دیگر. به این خط خط تقارن می‌گویند. مستطیل ۲ خط تقارن دارد، مربع ۴، هر چندضلعی منتظم به تعداد ضلع‌هایش، دایره بی‌شمار، و بیشتر متوازی‌الاضلاع‌ها هیچ.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها
  7. چهارضلعی‌هاقفلچهارضلعی چندضلعی‌ای با چهار ضلع است. خانواده‌اش مستطیل (چهار زاویه‌ی قائمه)، مربع (چهار زاویه‌ی قائمه و چهار ضلع برابر)، متوازی‌الاضلاع (دو جفت ضلع موازی)، لوزی (چهار ضلع برابر)، ذوزنقه (یک جفت ضلع موازی) و کایت (دو جفت ضلع برابرِ کنار هم) را در بر دارد. مربع هم مستطیل است و هم لوزی. قطر دو رأس روبه‌روی هم را به هم وصل می‌کند و چهارضلعی را به دو مثلث می‌بُرد، پس مجموع زاویه‌های چهارضلعی ⁦۳۶۰°⁩ است.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها, خط‌های موازی و عمود
  8. شکل‌های فضاییقفلشکل فضایی جا می‌گیرد: طول، عرض و ارتفاع دارد. بیشتر شکل‌های فضایی از وجه‌های صافی ساخته شده‌اند که در یال‌ها و رأس‌ها به هم می‌رسند - یک جعبه ۶ وجه، ۱۲ یال و ۸ رأس دارد - و خانواده‌های اصلی‌شان مکعب، مکعب‌مستطیل، منشور، هرم، استوانه، مخروط و کره‌اند. اگر شکل فضایی را باز کنیم و صاف کنیم، گسترده‌ی آن به دست می‌آید.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها, دایره
  9. شکل‌های متشابهقفلدو شکل متشابه‌اند اگر هم‌شکل باشند، شاید با اندازه‌های متفاوت: هر طول یکی، به یک اندازه چند برابرِ طول متناظرش در دیگری است، و همه‌ی زاویه‌ها یکسان‌اند. نقشه‌ها و ماکت‌ها با مقیاس کشیده می‌شوند، مثلاً ۱ به ۱۰۰. اگر همه‌ی طول‌ها دو برابر شوند، مساحت چهار برابر می‌شود.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها, زاویه, ضرب
  10. مثلث‌هاقفلمثلث چندضلعی‌ای با سه ضلع است. از نظر ضلع‌ها متساوی‌الاضلاع (هر سه ضلع برابر)، متساوی‌الساقین (دو ضلع برابر) یا مختلف‌الاضلاع (هیچ دو ضلعی برابر نیست) است؛ از نظر زاویه‌ها می‌تواند قائم‌الزاویه باشد، یک زاویه‌ی باز داشته باشد، یا همه‌ی زاویه‌هایش تند باشند. سه ضلع فقط به یک شکل کنار هم جا می‌شوند، پس مثلث لق نمی‌شود؛ برای همین بدنه‌ی دوچرخه و پل‌ها را با مثلث می‌سازند. مجموع سه زاویه‌ی مثلث همیشه ⁦۱۸۰°⁩ است.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها
  11. محیطقفلمحیط یک شکل اندازه‌ی کل راهِ دور لبه‌ی آن است: طول همه‌ی ضلع‌هایش را با هم جمع کنید. در مستطیل، طول و عرض را جمع کنید و دو برابر کنید. محیط یک طول است، پس با سانتی‌متر یا متر اندازه گرفته می‌شود.باز می‌شود پس از: چندضلعی‌ها, طول, جمع
  12. مختصاتقفلدو عدد جای یک نقطه را روی صفحه‌ی شطرنجی مشخص می‌کنند: چقدر از مبدأ به راست، و بعد چقدر به بالا؛ مثل ⁦(۳, ۲)⁩. دو محور اعداد را محور می‌نامیم و در مبدأ، یعنی ⁦(۰, ۰)⁩، به هم می‌رسند. ترتیب مهم است: ⁦(۳, ۲)⁩ و ⁦(۲, ۳)⁩ دو نقطه‌ی متفاوت‌اند. با مختصات، هر شکل به فهرستی از عددها تبدیل می‌شود.باز می‌شود پس از: محور اعداد, خط‌های موازی و عمود
  13. انتقال، دوران و بازتابقفلیک شکل را می‌شود به سه روش جابه‌جا کرد بی‌آنکه عوض شود: انتقال همه‌ی نقطه‌ها را به یک اندازه و در یک جهت جابه‌جا می‌کند، دوران شکل را به اندازه‌ی یک زاویه دور یک نقطه‌ی ثابت می‌چرخاند، و بازتاب آن را نسبت به یک خط قرینه می‌کند. شکل تازه با شکل اول هم‌نهشت است: هم‌شکل و هم‌اندازه. فقط بازتاب جهت شکل را برعکس می‌کند.باز می‌شود پس از: زاویه, تقارن
  14. عدد پی (π)قفلعدد پی، که آن را π می‌نویسند، عددی است که از تقسیم محیط هر دایره بر قطرش به دست می‌آید: حدود ۳٫۱۴، برای همه‌ی دایره‌ها یکی. پس ⁦محیط دایره = π × قطر⁩. رقم‌های π هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند و تکرار هم نمی‌شوند: π یک عدد گنگ است.باز می‌شود پس از: دایره, محیط, عددهای اعشاری
  15. مساحتقفلمساحت اندازه‌ی سطحی است که یک شکل صاف می‌پوشاند، و با شمردن مربع‌های هم‌اندازه‌ای اندازه گرفته می‌شود که بی‌فاصله و بی‌روی‌هم‌افتادگی آن را می‌پوشانند: سانتی‌متر مربع یا متر مربع. مساحت مستطیل طول × عرض است، مساحت متوازی‌الاضلاع قاعده × ارتفاع، و مساحت مثلث نصفِ قاعده × ارتفاع.باز می‌شود پس از: چهارضلعی‌ها, طول
  16. قضیه‌ی فیثاغورسقفلدر مثلث قائم‌الزاویه، مساحت مربعی که روی بلندترین ضلع (وتر) ساخته می‌شود با مساحت دو مربعِ روی دو ضلع دیگر روی هم برابر است: برای ضلع‌های ۳، ۴ و ۵، ⁦۹ + ۱۶ = ۲۵⁩. پس با دانستن دو ضلع، ضلع سوم پیدا می‌شود؛ و مثلثی که ضلع‌هایش با این قاعده جور درمی‌آیند حتماً یک زاویه‌ی قائمه دارد.باز می‌شود پس از: مثلث‌ها, مساحت, عددهای مربعی, جذر

پیوند با حوزه‌های دیگر