هیچ کسری جور نمی‌شود

درباره‌ی این ویدیو

یک دستمال مربعی را که هر ضلعش ۱ متر است از گوشه به گوشه تا کنید. طول این تا چقدر است؟ این ویدیو جوابش را پیدا می‌کند. مربعی که روی قطر کشیده می‌شود از چهار نیمه‌ی مربع کوچک ساخته شده است، پس مساحتش ۲ است؛ درست همان چیزی که قضیه‌ی فیثاغورس می‌گوید: ۱ × ۱ + ۱ × ۱ = ۲. قطر، ضلع مربعی به مساحت ۲ است؛ پس عددی است که ضرب در خودش ۲ می‌شود: جذر ۲ که آن را √۲ می‌نویسیم.

بعد جست‌وجو شروع می‌شود. ۱٫۴ × ۱٫۴ = ۱٫۹۶ کم است و ۱٫۵ × ۱٫۵ = ۲٫۲۵ زیاد؛ پس √۲ میان ۱٫۴ و ۱٫۵ است. ۱٫۴۱ × ۱٫۴۱ = ۱٫۹۸۸۱ کم است و ۱٫۴۲ × ۱٫۴۲ = ۲٫۰۱۶۴ زیاد؛ پس میان ۱٫۴۱ و ۱٫۴۲ است. محور اعداد روی این فاصله بزرگ‌نمایی می‌کند. هر رقم تازه نزدیک‌ترمان می‌کند، اما هیچ عدد اعشاری‌ای دقیقاً به ۲ نمی‌رسد، و رقم‌های √۲، یعنی ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶ و همین‌طور تا آخر، بی‌پایان و بی‌تکرار ادامه دارند.

کسرها هم بهتر از این نیستند: ۷/۵ ضرب در خودش می‌شود ۴۹/۲۵، کمی کمتر از ۲، و ۱۷/۱۲ ضرب در خودش می‌شود ۲۸۹/۱۴۴، کمی بیشتر. ریاضی‌دانان یونانی بیش از ۲٬۰۰۰ سال پیش ثابت کردند که هیچ کسری، ضرب در خودش، دقیقاً ۲ نمی‌شود. با این همه √۲ یک طول واقعی است: قطر را مثل یک در روی محور اعداد بچرخانید، درست سر جای خودش، میان ۱٫۴۱ و ۱٫۴۲، می‌نشیند. به عددی مثل این، که کسر نیست و رقم‌های اعشاری‌اش نه تمام می‌شوند و نه تکرار، عدد گنگ می‌گویند. این ویدیو همراه درس «طولی که هیچ کسری درست نشانش نمی‌دهد» در دوره‌ی هندسه، سطح ۱ در Knaph است.

متن گفتار

1. ۰:۰۰دستمالی مربعی، هر ضلع یک متر. طول تای گوشه به گوشه چقدر است؟
2. ۰:۰۸مربع روی این تا از چهار نیمه‌ی دستمال ساخته شده. مساحتش دو است.
3. ۰:۱۷پس طول تا عددی است که ضرب در خودش دو می‌شود. جذر دو.
4. ۰:۲۴دنبالش بگردیم. یک و چهار دهم کم است. یک و نیم زیاد است.
5. ۰:۳۳یک و چهل‌ویک صدم کم است، یک و چهل‌ودو صدم زیاد. نزدیک و نزدیک‌تر می‌شویم، اما هیچ‌وقت درست به دو نمی‌رسیم.
6. ۰:۴۴رقم‌های اعشاری‌اش تا ابد ادامه دارند و تکرار نمی‌شوند.
7. ۰:۵۲کسرها هم جور نمی‌شوند. هفت پنجم کمی کم است. هفده دوازدهم کمی زیاد. هیچ کسری دقیقاً درست نیست.
8. ۱:۰۲با این حال یک طول واقعی است. تا را روی محور اعداد بخوابانید. سر جای خودش می‌نشیند.
9. ۱:۱۴به عددی که هیچ کسری نشانش نمی‌دهد، عدد گنگ می‌گویند.