عمق ۲ · ۴۵ ثانیه
آخرین عدد اول وجود ندارد
عددهای اول هر چه جلوتر برویم کمیابتر میشوند. آیا تمام میشوند؟ استدلال ۲٬۳۰۰سالهی اقلیدس - عددهای اول یک فهرست را در هم ضرب کنید و ۱ اضافه کنید - نشان میدهد هیچ فهرستی همهی آنها را ندارد.
درباره‌ی این ویدیو
عددهای اول هر چه عددها بزرگ‌تر میشوند کمیابتر میشوند: بین ۱ و ۱۰ چهار عدد اول هست، اما بین ۹۱ و ۱۰۰ فقط یکی، یعنی ۹۷. پس آیا آخرین عدد اولی وجود دارد؟ امتحان کردن جواب این را نمی‌دهد، چون عددها تا ابد ادامه دارند. این ویدیوی کوتاه استدلالی را دنبال می‌کند که اقلیدس حدود ۲٬۳۰۰ سال پیش در کتابش، «اصول»، نوشت.
فرض کنید کسی بگوید تنها عددهای اول ۲، ۳ و ۵ هستند. آنها را در هم ضرب کنید و ۱ اضافه کنید: ۲ × ۳ × ۵ = ۳۰ و ۳۰ + ۱ = ۳۱. ۳۱ را بر ۲، ۳ یا ۵ تقسیم کنید؛ همیشه ۱ باقی می‌ماند، چون ۳۰ مضرب همهی آن‌هاست. پس هیچ‌کدام از عددهای اول فهرست ۳۱ را نمی‌شمارد، و ۳۱ یا خودش عدد اولی بیرون از فهرست است، یا از عددهای اولی ساخته شده که در فهرست نیستند. گاهی عدد تازه خودش اول نیست: برای فهرست ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳ این عدد ۳۰٬۰۳۱ است که برابر ۵۹ × ۵۰۹ است. اما ۵۹ و ۵۰۹ هم در فهرست نیستند.
حالا فرض کنید آخرین عدد اول وجود دارد و همهی عددهای اول در یک فهرست جا میشوند. آنها را در هم ضرب کنید و ۱ اضافه کنید؛ به عدد اولی می‌رسید که در فهرست نیست. این ناممکن است، پس آخرین عدد اول وجود ندارد. به این روش اثبات، برهان خلف می‌گویند. این ویدیو همراه درس «عددهای اول تمام نمی‌شوند» در دوره‌ی نظریه‌ی اعداد، سطح ۱ در Knaph است.
این ویدیو عمق ۲ از «عددهای اول» را نشان میدهد.
یادگیری عددهای اولمتن گفتار
- ۰:۰۰عددهای اول کمیابتر میشوند. آیا آخرینی دارند؟
- ۰:۰۵فرض کنید کسی بگوید تنها عددهای اول دو، سه و پنج‌اند.
- ۰:۱۰آنها را در هم ضرب کنید و یکی اضافه کنید. سی‌ویک.
- ۰:۱۵سی‌ویک را بر دو، سه یا پنج تقسیم کنید. همیشه یکی باقی می‌ماند.
- ۰:۲۱پس سی‌ویک عدد اولی می‌آورد که در فهرست نیست.
- ۰:۲۶فهرستی بلندتر می‌شود سی هزار و سی‌ویک، یعنی پنجاه‌ونه ضرب در پانصدونه. باز هم عددهای اول تازه.
- ۰:۳۴هر فهرستی، هر قدر بلند، یک عدد اول کم دارد.
- ۰:۳۹عددهای اول هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند.